Question

給出下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②函數(shù)y=

1

2

+

1

2x-1

(x≠0)是奇函數(shù)；
③函數(shù)y=sin（-2x）在區(qū)間[

π

4

，

3π

4

]上是減函數(shù)；
④函數(shù)y=cos|x|是周期函數(shù)；
⑤對(duì)于命題p：?x∈R，使得x²+x+1＜0，則?p：?x∈R，均有x²+x+1≥0．（其中“?”表示“存在”，“?”表示“任意”）．
其中錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是

③

．（填寫你認(rèn)為錯(cuò)誤的所有結(jié)論序號(hào)）

Answer 1

分析：對(duì)各個(gè)選項(xiàng)依次加以判斷：對(duì)于①，函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的定義域與函數(shù)y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域都是R，命題正確；對(duì)于②，令函數(shù)f(x)=

1

2

+

1

2x-1

(x≠0)，可以證明得f(-x)=

2 -x+1

2 -x-1

=

2x+1

1-2x

=-f（x），故原函數(shù)是奇函數(shù)；對(duì)于③，函數(shù)y=sin（-2x）=-sin（2x）在區(qū)間[

π

4

，

3π

4

]上是增函數(shù)，命題錯(cuò)誤；對(duì)于④，由于余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故函數(shù)y=cos|x|=cosx，函數(shù)是周期函數(shù)最小正同期為2π，命題正確；對(duì)于⑤，這是一個(gè)含有量詞的命題，否定時(shí)要先改下量詞，再否定結(jié)論，由此可得命題⑤正確．說明只有③是錯(cuò)誤的．

解答：解：對(duì)于①，函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的定義域?yàn)镽，
函數(shù)y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域也是R，
故兩個(gè)函數(shù)定義域相同，命題正確；
對(duì)于②，令函數(shù)f(x)=

1

2

+

1

2x-1

(x≠0)，
則f(x)=

1

2

+

1

2x-1

=

2 x+1

2 x-1

，
而f(-x)=

2 -x+1

2 -x-1

=

2x+1

1-2x

=-f（x），故原函數(shù)是奇函數(shù)；
對(duì)于③，函數(shù)y=sin（-2x）=-sin（2x）在
區(qū)間[

π

4

，

3π

4

]上是增函數(shù)，命題錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由于余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故函數(shù)y=cos|x|=cosx，
函數(shù)是周期函數(shù)最小正同期為2π，命題正確；
對(duì)于⑤，對(duì)于命題p：?x∈R，使得x²+x+1＜0，
這是一個(gè)含有量詞的命題，否定時(shí)要先改下量詞，再否定結(jié)論
則?p：?x∈R，均有x²+x+1≥0，命題⑤正確．
故答案為：③

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題真假的判斷，其中包含了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，含有量詞的命題等等，知識(shí)點(diǎn)較多，屬于中檔題．