Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC．AB=2EF．
（Ⅰ）若M是線段AD的中點(diǎn)，求證：GM∥平面ABFE；
（Ⅱ）若AC=BC=2AE，求二面角A-BF-C的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)所給的一系列平行，得到三角形相似，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，得到線與線平行，根據(jù)線與面平行的判定定理，得到線面平行．
（Ⅱ）根據(jù)二面角的求解的過程，先做出，再證明，最后求出來，這樣三個環(huán)節(jié)，先證∠HRC為二面角的平面角，再設(shè)出線段的長度，在直角三角形中求出角的正切值，得到二面角的大�。�

解答：證明：（Ⅰ）∵EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC，∠ACB=90°，
∴∠EGF=90°，△ABC～△EFG，
由于AB=2EF，
∴BC=2FG，
連接AF，
∵FG∥BC，F(xiàn)G=

1

2

BC，
在?ABCD中，M是線段AD的中點(diǎn)，
∴AM∥BC，且AM=

1

2

BC，
∴FG∥AM且FG=AM，
∴四邊形AFGM為平行四邊形，
∴GM∥FA，
∵FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，
∴GM∥平面ABFE．
（Ⅱ）由題意知，平面ABFE⊥平面ABCD，
取AB的中點(diǎn)H，連接CH，
∵AC=BC，
∴CH⊥AB
則CH⊥平面ABFE，
過H向BF引垂線交BF于R，連接CR，
由線面垂直的性質(zhì)可得CR⊥BF，
∴∠HRC為二面角的平面角，
由題意，不妨設(shè)AC=BC=2AE=2，
在直角梯形ABFE中，連接FH，
則FH⊥AB，
又AB=2

2

，
∴HF=AE=1，HR=

S△BHE

1 2 ×BE

=

2

3

=

6

3

，由于CH=

1

2

AB=

2

，
∴在直角三角形CHR中，tan∠HRC=

2

6 3

=

3

，
因此二面角A-BF-C的大小為60°

點(diǎn)評：本題考查線面平行的判定定理，考查二面角的求法，考查求解二面角時的三個環(huán)節(jié)，本題是一個綜合題目，題目的運(yùn)算量不大．