Question

某種食品是經(jīng)過A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的產(chǎn)品合格率分別為

3

4

、

2

3

、

4

5

．已知每道工序的加工都相互獨(dú)立，三道工序加工的產(chǎn)品都為合格時產(chǎn)品為一等品；有兩道合格為二等品；其它的為廢品，不進(jìn)入市場．
（Ⅰ）正式生產(chǎn)前先試生產(chǎn)2袋食品，求這2袋食品都為廢品的概率；
（Ⅱ）設(shè)ξ為加工工序中產(chǎn)品合格的次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，分為三種情況，①2袋食品的三道工序都不合格②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有兩道工序不合格③兩袋都有兩道工序不合格，分別求出概率相加即可．
（Ⅱ）設(shè)ξ為加工工序中產(chǎn)品合格的次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望，可分別求出ξ的分布即P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3）的值，然后根據(jù)期望公式求解即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）2袋食品都為廢品的情況為
①2袋食品的三道工序都不合格P1=(

1

4

×

1

3

×

1

5

)2=

1

3600

②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有兩道工序不合格P2=

C

1 2

×

1

60

×(

3

4

×

1

3

×

1

5

+

1

4

×

2

3

×

1

5

+

1

4

×

1

3

×

4

5

)=

1

200

③兩袋都有兩道工序不合格P3=(

3

4

×

1

3

×

1

5

+

1

4

×

2

3

×

1

5

+

1

4

×

1

3

×

4

5

)2=

9

400

所以2袋食品都為廢品的概率P=P1+P2+P3=

1

36

（Ⅱ）因?yàn)棣?1，2，3，
P（ξ=0）=

1

4

×

1

3

×

1

5

=

1

60

P（ξ=1）=

3

4

×

1

3

×

1

5

+

1

4

×

2

3

×

1

5

+

1

4

×

1

3

×

4

5

 =

3

20

P（ξ=2）=

1

4

×

2

3

×

4

5

+

3

4

×

1

3

×

4

5

+

3

4

×

2

3

×

1

5

 =

13

30

P（ξ=3）=

3

4

×

2

3

×

4

5

=

2

5

故Eξ=1×

3

20

+2×

13

30

+3× 

2

5

=

133

60

．

點(diǎn)評：此題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，其中用到分類討論思想，有一定的計(jì)算量屬于中檔題目．