Question

17．設(shè)直線l過點P（-3，3），且傾斜角為$\frac{5π}{6}$
（1）寫出直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)此直線與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）交A、B兩點，求|PA|•|PB|；
（3）設(shè)A、B中點為M，求|PM|．

Answer 1

分析 （1）由題意可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{5π}{6}}\\{y=3+tsin\frac{5π}{6}}\end{array}\right.$，化簡即可得出．
（2）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系即可化為普通方程，把直線l的參數(shù)方程代入化為：13t²+60$\sqrt{3}$t+116=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義即可得出．
（3）設(shè)AB中點為M所對應(yīng)的參數(shù)為t₀，則t₀=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$，利用根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義即可得出．

解答 解：（1）由直線l過點P（-3，3），且傾斜角為$\frac{5π}{6}$，
可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{5π}{6}}\\{y=3+tsin\frac{5π}{6}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=3+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$．
（2）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）化為普通方程：$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
把直線l的參數(shù)方程代入化為：13t²+60$\sqrt{3}$t+116=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{60\sqrt{3}}{13}$，t₁•t₂=$\frac{116}{13}$，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{116}{13}$．
（3）設(shè)AB中點為M所對應(yīng)的參數(shù)為t₀，則t₀=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=-$\frac{30\sqrt{3}}{13}$．
∴|PM|=|t₀|=$\frac{30\sqrt{3}}{13}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．