Question

19．已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＜0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）a=2時，f（x）=$\frac{1}{x}$+4x，
函數(shù)f（x）的定義域為$（{0，+∞}），f'（x）=-\frac{1}{x^2}+4$，
令 $f'（x）=-\frac{1}{x^2}+4=0$，得${x_1}=\frac{1}{2}；{x_2}=-\frac{1}{2}$（舍去），
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的取值情況如下：

x	$（{0，\frac{1}{2}}）$	$\frac{1}{2}$	$（{\frac{1}{2}，+∞}）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

所以，函數(shù)f（x）的極小值為$f（{\frac{1}{2}}）=4$，無極大值．
（2）$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{（{2x-1}）（{ax+1}）}}{x^2}$，
令f'（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{2}，{x_2}=-\frac{1}{a}$，
當(dāng)a=-2時，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）的在定義域（0，+∞）單調(diào)遞增； 
當(dāng)-2＜a＜0時，在區(qū)間$（{\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}}）$，上f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增； 
當(dāng)a＜-2時，在區(qū)間$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}}）$，上f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．