【題目】證明.
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:12+22+32+…+n2= ,n是正整數(shù);
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:1+ + +…+ <2 (n∈N*)
【答案】
(1)證明:①n=1時(shí),左邊=12=1,右邊= =1,等式成立,
②假設(shè)n=k時(shí),等式成立,即12+22+32+…+k2= ,
則n=k+1時(shí),12+22+32+…+k2+(k+1)2= +(k+1)2
= [2k2+k+6(k+1)]
= (2k2+7k+6)
= = .
∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立,
由①②得:12+22+32+…+n2= .
(2)證明:①n=1時(shí),顯然不等式成立,
②假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,即1+ + +…+ <2 .
則當(dāng)n=k+1時(shí),1+ + +…+ + <2 + = < =2 .
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.
由①②得1+ + +…+ <2 .
【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟先驗(yàn)證n=1時(shí)結(jié)論成立,再假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,推導(dǎo)n=k+1時(shí)結(jié)論成立即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解數(shù)學(xué)歸納法的定義(數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5,購買乙種商品的概率為0.6,且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨(dú)立,各顧客之間購買商品也是相互獨(dú)立的.
(1)求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率;
(2)求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率;
(3)記ξ表示進(jìn)入商場(chǎng)的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù),求ξ的分布列及期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù)).
(1)將兩曲線化成普通坐標(biāo)方程;
(2)求兩曲線的公共弦長及公共弦所在的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí),復(fù)數(shù)z=m2﹣1+(m2﹣m﹣2)i分別是:
(1)實(shí)數(shù)?
(2)虛數(shù)?
(3)純虛數(shù)?
(4)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:sin230°+sin290°+sin2150°= ,sin25°+sin265°+sin2125°= .通過觀察上述兩等式的規(guī)律,請(qǐng)你寫出一般性的命題,并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)= ,若關(guān)于x的方程[f(x)]2+af(x)﹣a﹣1=0(a∈R)有且只有7個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)M(x,y)在|x|≤1,|y|≤1時(shí)按均勻分布出現(xiàn),試求滿足:
(1)x+y≥0的概率;
(2)x+y<1的概率;
(3)x2+y2≥1的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),探究函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求的取值范圍.
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