Question

12．已知函數(shù)f（x）=log₂g（x）+（k-1）x．
（1）若g（log₂x）=x+1，且f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)k的值；
（2）當k=1，g（x）=ax²+（a+1）x+a時，若函數(shù)f（x）的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，則x=2^t，代入g（log₂x）=x+1，求得函數(shù)f（x）的解析式，由f（-x）=f（x），代入即可求得k的取值范圍；
（2）k=1，f（x）=log₂[ax²+（a+1）x+a]，當a≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，求得0＜a≤1，當a=0時，f（x）=log₂x，函數(shù)f（x）的值域為R，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）令t=log₂x，則x=2^t，代入g（log₂x）=x+1，
∴g（t）=2^t+1，
∴f（x）=log₂（2^x+1）+（k-1）x，
由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴l(xiāng)og₂（2^x+1）+（k-1）x=log₂（2^-x+1）-（k-1）x，
∴x=-2（k-1）x，對一切x∈R恒成立，
∴2（k-1）=-1，
∴k=$\frac{1}{2}$，
（2）k=1，f（x）=log₂[ax²+（a+1）x+a]，
當a≠0時，要使函數(shù)f（x）的值域為R，
要求一元二次方程：ax²+（a+1）x+a=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（a+1）^{2}-4{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
解得：0＜a≤1，
當a=0時，f（x）=log₂x，函數(shù)f（x）的值域為R，
綜合可知：實數(shù)a的取值范圍[0，1]．

點評 本題考查復合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的判斷，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，考查換元法及一元二次方程判別式的應用，屬于中檔題．