Question

函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù)。

（1）討論的單調(diào)性；

（2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，設(shè)，。是否存在實(shí)常數(shù)，既使又使對(duì)一切恒成立？若存在，試找出的一個(gè)值，并證明；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）定義域?yàn)?sub>，

①當(dāng)時(shí)，，在定義域上單增；

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，單減。

增區(qū)間：，減區(qū)間：。

綜上可知：當(dāng)時(shí)，增區(qū)間，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間：，減區(qū)間：。

（2）對(duì)任意恒成立

，令，

，在上單增，

，，故的取值范圍為。

（3）存在，如等。下面證明：

及成立。

①先證，注意，

這只要證（*）即可，

容易證明對(duì)恒成立(這里證略)，取即可得上式成立。

讓分別代入（*）式再相加即證：，

于是。

②再證，

法一：

只須證，構(gòu)造證明函數(shù)不等式：，

令，，當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減,又當(dāng)時(shí)，恒有，即恒成立。

，取，則有，

讓分別代入上式再相加即證：

，

即證。

法二：，

，

又故不等式成立。

（注意：此題也可用數(shù)學(xué)歸納法�。�