Question

已知：右圖為一個(gè)多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三視圖，其中各邊長(zhǎng)度及位置關(guān)系如三視圖所表示，
（1）求：二面角A₁-DC₁-B的余弦值
（2）已知點(diǎn)E為面對(duì)角線B₁D₁上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求證：三棱錐D-EBC₁的體積為定值，并求出這個(gè)定值
（注：答題時(shí)在答題卡的20題答題區(qū)域用尺、筆畫出所用立體圖形，標(biāo)清字母，黑色筆描出）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三視圖，可得直觀圖，建系設(shè)坐標(biāo)以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA為OX軸，DC為OY軸，DD₁為OZ軸，，可求面A₁DC₁，DC₁B的法向量坐標(biāo)，從而可求二面角A₁-DC₁-B的余弦值；
（2）設(shè)C₁到平面BD₁的距離為h，則可知h=2

2

，利用等體積可求三棱錐D-EBC₁的體積，從而可得結(jié)論

解答：解：（1）如圖，建系設(shè)坐標(biāo)以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA為OX軸，DC為OY軸，DD₁為OZ軸，則A₁（2，0，4），C₁（0，4，4），B（2，2，0），D（0，0，0）
∴

DA1

=(2，0，4)，

DC1

=(0，4，4)
設(shè)面A₁DC₁的法向量坐標(biāo)為

n

=(x，y，z)
∴

n • DC1 =0 n • DA1 =0

，∴

2x+4z=0 4y+4z=0

，∴

n1

=(-2，-1，1)，
同理可得面DC₁B的法向量坐標(biāo)

n2

=(-1，1-1)
∴二面角A₁-DC₁-B的余弦值為cos＜

n1

，

n2

＞= 0
（2）設(shè)C₁到平面BD₁的距離為h，則可知h=2

2

∵S△DEB=4

2

∴VC1-DEB=

1

2

×4

2

×2

2

=

16

3

∵VD-EBC1=VC1-DEB     
∴VD-EBC1=

16

3

．為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題以三視圖為載體，考查面面角，考查三棱錐的體積，關(guān)鍵是利用等體積轉(zhuǎn)化．