Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍

Answer 1

【答案】
【解析】f（x）=|xex|=
當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），
由f′（x）=0，得x=﹣1，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一個(gè)極大值為f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1= ，
要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，
令f（x）=m，則方程m2+tm+1=0應(yīng)有兩個(gè)不等根，且一個(gè)根在(0,)內(nèi)，一個(gè)根在(,+)內(nèi)，
再令g（m）=m2+tm+1，
因?yàn)間（0）=1＞0，
則只需g（）＜0，即 ， 解得：t＜﹣ ．
所以，使得函數(shù)f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根的t的取值范圍
是 ．
故答案為 ．
函數(shù)f（x）=|xex|是分段函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)分析得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（﹣∞，﹣1）上為增函數(shù)，在（﹣1，0）上為減函數(shù)，求得函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上，當(dāng)x=﹣1時(shí)有一個(gè)最大值 ， 所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，f（x）的值一個(gè)要在(0,)內(nèi)，一個(gè)在(,+)內(nèi)，然后運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關(guān)系列式求解t的取值范圍．