Question

如圖，?ABCD中，

AB

=

a

，

AD

=

b

，
（1）當(dāng)

a

、

b

滿足什么條件時(shí)，表示

a

+

b

與

a

-

b

的有向線段所在的直線互相垂直？
（2）當(dāng)

a

、

b

滿足什么條件時(shí)，|

a

+

b

|=|

a

-

b

|．
（3）

a

+

b

與

a

-

b

有可能為相等向量嗎？為什么？

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用菱形的對(duì)角線的性質(zhì)即可得出；
（2）利用矩形的對(duì)角線的性質(zhì)即可得出；
（3）利用平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)即可判斷出．

解答： 解：（1）易知

a

+

b

=

AC

，

a

-

b

=

DB

．
表示

a

+

b

與

a

-

b

的有向線段所在的直線垂直，
即AC⊥BD．
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD為菱形，即

a

、

b

應(yīng)滿足|

a

|=|

b

|．
（2）|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，即|

AC

|=|

DB

|．
∵矩形的對(duì)角線相等．
∴當(dāng)表示

a

，

b

的有向線段所在的直線垂直時(shí)，
滿足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|．
（3）不可能，因?yàn)椤魽BCD的兩條對(duì)角線不可能平行，因此

a

+

b

與

a

-

b

不可能為共線向量，那么就不可能為相等向量了．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的對(duì)角線的性質(zhì)、矩形的對(duì)角線的性質(zhì)、平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)、向量的平行四邊形法則，屬于中檔題．