(2012•淄博一模)已知函數(shù)f(x)=2cos2
x
2
-
3
sinx

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若a為第二象限角,且f(a-
π
3
)=
1
3
,求
cos2a
1+cos2a-sin2a
的值.
分析:(Ⅰ)利用三角函數(shù)間的關(guān)系將f(x)化為f(x)=1+2cos(x+
π
3
),即可求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)依題意可求得cosα=-
1
3
,sinα=
2
2
3
,
cos2α
1+cos2α-sin2α
可化簡為
cosα+sinα
2cosα
,從而可求得其值.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)?nbsp;f(x)=1+cosx-
3
sinx        …(1分)
=1+2cos(x+
π
3
),…(2分)
所以函數(shù)f(x)的周期為2π,值域?yàn)閇-1,3].           …(4分)
(Ⅱ)因?yàn)?nbsp;f(a-
π
3
)=
1
3
,
所以 1+2cosα=
1
3
,即cosα=-
1
3
.                             …(5分)
因?yàn)?nbsp;
cos2a
1+cos2a-sin2a

=
cos2α-sin2α
2cos2α-2sinαcosα
      …(8分)
=
(cosα+sinα)(cosα-sinα)
2cosα(cosα-sinα)

=
cosα+sinα
2cosα
,…(10分)
又因?yàn)棣翞榈诙笙藿,所?nbsp;sinα=
2
2
3
.                    …(11分)
所以原式=
cosα+sinα
2cosα

=
-
1
3
+
2
2
3
-
2
3

=
1-2
2
2
.                 …(13分)
點(diǎn)評:本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,考查三角函數(shù)的周期性及其求法,考查倍角公式,掌握三角函數(shù)間的關(guān)系是化簡求值的關(guān)鍵,屬于中檔題.
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