分析 設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),因?yàn)锳,B在拋物線上,把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程,作差后求出AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo),又AB的中點(diǎn)在直線x+y-1=0上,代入后求其橫坐標(biāo),然后由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部列不等式求得實(shí)數(shù)p的取值范圍.
解答 解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
因?yàn)辄c(diǎn)A和B在拋物線上,所以有y12=2px1①,y22=2px2②
①-②得整理得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$,
因?yàn)锳,B關(guān)于直線x+y-1=0對稱,所以kAB=1,即$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1.
所以y1+y2=2p.
設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則y0=p.
又M在直線x+y-1=0上,所以x0=1-y0=1-p.
則M(1-p,p).
因?yàn)镸在拋物線內(nèi)部,所以y02-2px0<0.
即p2-2p(1-p)<0,解得0<p<$\frac{2}{3}$.
所以p的取值范圍是0<p<$\frac{2}{3}$.
故答案為:0<p<$\frac{2}{3}$.
點(diǎn)評 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查了點(diǎn)差法,是解決與弦中點(diǎn)有關(guān)問題的常用方法,解答的關(guān)鍵是由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部得到關(guān)于p的不等式,是中檔題.
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A. | 0 | B. | a | C. | 1 | D. | 1-a |
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A. | 2$α+β=\frac{π}{2}$ | B. | 3$α+β=\frac{π}{2}$ | C. | 2$α-β=\frac{π}{2}$ | D. | 3$α-β=\frac{π}{2}$ |
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