Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足前n項(xiàng)和S_n=n²+1，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，且前n項(xiàng)和為T(mén)_n，設(shè)c_n=T_2n+1-T_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）判斷數(shù)列{c_n}的增減性．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足前n項(xiàng)和S_n=n²+1，可得a₁=S₁，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．進(jìn)而得到b_n．
（2）由c_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1，作差c_n+1-c_n，即可得出{c_n}的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足前n項(xiàng)和S_n=n²+1，
∴a₁=S₁=2，a₁=2，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．
n=1時(shí)，b₁=$\frac{1}{3}$；
n≥2時(shí)，b_n=$\frac{1}{2n-1+1}$=$\frac{1}{2n}$．
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}，n=1}\\{\frac{1}{2n}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）∵c_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
=$\frac{1}{2（n+1）}$+$\frac{1}{2（n+2）}$+…+$\frac{1}{2（2n+1）}$，
∴c_n+1-c_n=$\frac{1}{4n+6}$-$\frac{1}{2n+2}$＜0，
∴{c_n}是遞減數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．