Question

如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，，M是線(xiàn)段AE上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面DMF，并說(shuō)明理由；
（2）在（1）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）所求二面角的余弦值為.

試題分析：（1）要使得AC∥平面DMF，需要使得AC平行平面DMF內(nèi)的一條直線(xiàn).為了找這條直線(xiàn)，需要作一個(gè)過(guò)AC而與平面DMF相交的平面.為此，連結(jié)CE，交DF于N，連結(jié)MN，這樣只要AC∥MN即可.因?yàn)镹為線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，所以只需M是線(xiàn)段AE的中點(diǎn)即可.

（2）思路一、（綜合法）首先作出它們的交線(xiàn).過(guò)點(diǎn)D作平面DMF與平面ABCD的交線(xiàn)l，由于AC∥平面DMF，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理知AC∥l.為了求二面角，首先作出其平面角.作平面角第一步是過(guò)其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線(xiàn)，而要作垂線(xiàn)先作垂面.在本題中，由于平面平面，所以過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AD于G，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，則平面ADE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，過(guò)G作GH⊥l于H，連結(jié)MH，則直線(xiàn)l⊥平面MGH，所以l⊥MH，故∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角．在直角三角形MHG中求得可∠MHG的余弦值.（另外也可過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)）思路二、因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE兩兩垂直，所以可分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz．然后利用空間向量求解.
（1）當(dāng)M是線(xiàn)段AE的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面DMF．
證明如下：
連結(jié)CE，交DF于N，連結(jié)MN，
由于M、N分別是AE、CE的中點(diǎn)，所以MN∥AC，
由于MN平面DMF，又AC平面DMF，
所以AC∥平面DMF． 4分
（2）方法一、過(guò)點(diǎn)D作平面DMF與平面ABCD的交線(xiàn)l，由于AC∥平面DMF，可知AC∥l，
過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AD于G，
因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，
所以DE⊥平面ABCD，則平面ADE⊥平面ABCD，
所以MG⊥平面ABCD，
過(guò)G作GH⊥l于H，連結(jié)MH，則直線(xiàn)l⊥平面MGH，所以l⊥MH，
故∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角． 8分
設(shè)，則，，
，則， 11分
所以，即所求二面角的余弦值為． 12分

方法二、因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE兩兩垂直，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz．

設(shè)，則，，，，
設(shè)平面MDF的法向量，
則所以
令，得平面MDF的一個(gè)法向量， 8分
取平面ABCD的法向量， 9分
由， 11分
故平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為． 12分