(22)如圖，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，An（xn，yn）是拋物線x2=4y上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線FA.交拋物線于另一點(diǎn)Bn（sn，tn）.

（Ⅰ）試證：xnsn=－4（n≥1）；

（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn).試證：

|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1（n≥1）.

證明：（Ⅰ）對(duì)任意固定的n≥1，因?yàn)榻裹c(diǎn)F（0，1），所以可設(shè)直線AnBn的方程為y-1=knx，將它與拋物線x2=4y聯(lián)立得

x2-4knx-4=0.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得xnsn=-4.

   (Ⅱ)對(duì)任意固定的n≥1，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線x2=4y在An處的切線的斜率=

故x2=4y在An處切線方程為

y-yn=(x-xn),       ①

類(lèi)似地，可求得x2=4y在Bn處的切線方程為

y-tn=（x-sn）.   ②

由②減去①得

yn-tn=-

從而         

     ③

將③代入①并注意xnsn=-4得交點(diǎn)Cn的坐標(biāo)為（，－1）.

由兩點(diǎn)間的距離公式得

|FCn|2=

                =

從而          |FCn|-

現(xiàn)在xn=2n.利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得，

|FC1|+|FC2|+…+|FCn|


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(
1
2
)x的圖象上，且數(shù)列{an} 是a1=1，公差為d的等差數(shù)列．
（1）證明：數(shù)列{bn} 是公比為(
1
2
)d的等比數(shù)列；
（2）若公差d=1，以點(diǎn)Pn的橫、縱坐標(biāo)為邊長(zhǎng)的矩形面積為cn，求最小的實(shí)數(shù)t，若使cn≤t（t∈R，t≠0）對(duì)一切正整數(shù)n恒成立；
（3）對(duì)（2）中的數(shù)列{an}，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)3（如在a1與a2之間插入20個(gè)3，a2與a3之間插入21個(gè)3，a3與a4之間插入22個(gè)3，…，依此類(lèi)推），得到一個(gè)新的數(shù)列{dn}，設(shè)Sn是數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和，試求S1000．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

11、某校為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，對(duì)初三（2）班的50名學(xué)生進(jìn)行了立定跳遠(yuǎn)、鉛球、100米三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，每個(gè)項(xiàng)目滿分為10分．如圖，是將該學(xué)生所得的三項(xiàng)成績(jī)（成績(jī)均為整數(shù)）之和進(jìn)行整理后，分成5組畫(huà)出的頻率分布直方圖，已知從左至右前4個(gè)小組的頻率分別為0.02，0.1，0.12，0.46．
下列說(shuō)法：
（1）學(xué)生的成績(jī)≥27分的共有15人；
（2）學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)在第四小組（22.5～26.5）內(nèi)；
（3）學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)在第四小組（22.5～26.5）范圍內(nèi)．
其中正確的說(shuō)法有（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高三3月第一次高考模擬理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)人腳掌越長(zhǎng)，他的身高就越高，現(xiàn)對(duì)10名成年人的腳掌長(zhǎng)與身高進(jìn)行測(cè)量，得到數(shù)據(jù)（單位均為）如表，作出散點(diǎn)圖后，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)在一條直線附近，經(jīng)計(jì)算得到一些數(shù)據(jù)：，；某刑偵人員在某案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)發(fā)現(xiàn)一對(duì)裸腳印，量得每個(gè)腳印長(zhǎng)為，則估計(jì)案發(fā)嫌疑人的身高為

    ．

腳長(zhǎng)

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

身高

141

146

154

160

169

176

181

188

197

203

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年上海市八校區(qū)重點(diǎn)（新八校）高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)的圖象上，且數(shù)列{an} 是a1=1，公差為d的等差數(shù)列．
（1）證明：數(shù)列{bn} 是公比為的等比數(shù)列；
（2）若公差d=1，以點(diǎn)Pn的橫、縱坐標(biāo)為邊長(zhǎng)的矩形面積為cn，求最小的實(shí)數(shù)t，若使cn≤t（t∈R，t≠0）對(duì)一切正整數(shù)n恒成立；
（3）對(duì)（2）中的數(shù)列{an}，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)3（如在a1與a2之間插入2個(gè)3，a2與a3之間插入21個(gè)3，a3與a4之間插入22個(gè)3，…，依此類(lèi)推），得到一個(gè)新的數(shù)列{dn}，設(shè)Sn是數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和，試求S1000．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案