Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/35874.png' />時，求f（x）的值域；
（2）試問對定義域內(nèi)的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否為一個定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，若，求g（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）函數(shù)=-1+．
當(dāng) a+≤x≤a+1時，-a-1≤-x≤-a-，-1≤a-x≤-，-2≤≤-1，
于是-3≤-1+≤-2，
即f（x）值域?yàn)閇-3，-2]．
（2）∵f（2a-x）+f（x）===-2，
對定義域內(nèi)的所有x都成立，
∴對定義域內(nèi)的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是定值-2．
（3）解：當(dāng)a=1時，g（x）=x²+|x|（x≠-1）
（�。┊�(dāng)x≥0時，
則函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）_min=g（0）=0
（ⅱ）當(dāng)x≤0時，
則函數(shù)g（x）在（-∞，0]且x≠-1時單調(diào)遞減，
g（x）_min=g（0）=0
綜合得：當(dāng)x≠-1時，g（x）的最小值是0．
分析：（1）先將函數(shù)進(jìn)行常數(shù)分離，然后根據(jù)定義域求出a-x的取值范圍，再根據(jù)反比例函數(shù)求出的取值范圍即可求出所求．
（2）f（2a-x）+f（x）===-2，對定義域內(nèi)的所有x都成立．
（3）由a=1，得g（x）=x²+|x|（x≠-1）當(dāng)x≥0時，求得最小值；當(dāng)x≤0時，求得最小值，最后從中取最小的，作為函數(shù)的最小值．
點(diǎn)評：本題主要考查恒成立問題、分類常數(shù)法轉(zhuǎn)化函數(shù)及分段函數(shù)求最值問題和分式函數(shù)的值域，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．