Question

某校高三年級(jí)文科共有800名學(xué)生參加了學(xué)校組織的模塊測(cè)試，教務(wù)處為了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從這800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中抽出若干名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)．
并制成如下頻率分布表：

分組	頻數(shù)	頻率
[70，80）	4	0.04
[80，80）	6	0.06
[90，100）	20	0.20
[100，110）	22	0.22
[110，120）	18	b
[120，130）	a	0.15
[130，140）	10	0.10
[140，150）	5	0.05
合計(jì)	c	1

（I）李明同學(xué)本次數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?03分，求他被抽取的概率P；
（Ⅱ）為了解數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生的心理狀態(tài)，現(xiàn)決定在第六、七、八組中用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生的成績(jī)，并從這6名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名，與心理老師面談，求第七組至少有一名學(xué)生與心理老師面談的概率’
（Ⅲ）估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)各組的頻率之和等于1，可得b的值，根據(jù)某一組的頻數(shù)和頻率求得樣本容量c的值，從而求得a的值．再由每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，
可得李明同學(xué)被抽到的概率為．
（Ⅱ）求得從第七組抽取的人數(shù)為2．從這6名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名，所有的抽取方法共有 種，而第七組沒有學(xué)生被抽到的方法有種，
由此求得第七組沒有學(xué)生被抽到的概率，再用1減去此概率，即得所求．
（Ⅲ）用每一組的平均值乘以該組的頻率，相加，即得該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分的估計(jì)值．
解答：解：（I）根據(jù)各組的頻率之和等于1，可得b=0.15，根據(jù)=0.04，解得樣本容量c=100，故a=15．
再由每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，都等于=，可得李明同學(xué)被抽到的概率為．
（Ⅱ）第六、七、八組共有30個(gè)樣本，用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生的成績(jī)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為 =，
故從第七組抽取的人數(shù)為 10×=2．
從這6名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名，所有的抽取方法共有=15種，而第七組沒有學(xué)生被抽到的方法有=6種，
故第七組沒有學(xué)生被抽到的概率為 =，故第七組至少有一個(gè)學(xué)生被抽到的概率為 1-=．
（Ⅲ）估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分為 75×0.04+85×0.06+95×0.2+105×0.22+115×0.15+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110.4分．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查古典概率及其計(jì)算公式，頻率分步表的應(yīng)用，事件和它的對(duì)立事件概率間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．