Question

19．在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=2，a₄+a₆=10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•2^a_n，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）求出等差數(shù)列的公差，然后求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）化簡(jiǎn)數(shù)列數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₂=2，a₄+a₆=10；
∴2×2+6d=10，解得d=1．
∴a_n=2+1（n-2）=n．
（2）b_n=n×2ⁿ．
T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+4×2⁴+…+n×2ⁿ
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+4×2⁵+…+n×2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得-T_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺¹
∴T_n═n×2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．