Question

3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}}\right.$目標(biāo)函數(shù)z=2log₄y-log₂x，則z的最大值為1．

Answer 1

分析 先畫出滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}}\right.$的平面區(qū)域，然后分析z=2log₄y-log₂x的幾何意義，進(jìn)而給出z的取值范圍．

解答 解：實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}}\right.$平面區(qū)域，如下圖所示：
∵目標(biāo)函數(shù)z=2log₄y-log₂x=log₂$\frac{y}{x}$，其中$\frac{y}{x}$表示區(qū)域內(nèi)點(diǎn)P與O（0，0）點(diǎn)連線的斜率，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得A（1，2）
又∵當(dāng)點(diǎn)P在A時(shí)，即當(dāng)x=1，y=2時(shí)，$\frac{y}{x}$取得最大值，z最大，最大值為z=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評 平面區(qū)域的最值問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵．