【題目】已知橢圓:, 過點的直線:與橢圓交于M、N兩點(M點在N點的上方),與軸交于點E.
(1)當(dāng)且時,求點M、N的坐標;
(2)當(dāng)時,設(shè),,求證:為定值,并求出該值;
(3)當(dāng)時,點D和點F關(guān)于坐標原點對稱,若△MNF的內(nèi)切圓面積等于,求直線的方程.
【答案】(1)M(0,1),N (,);(2)為定值3(3)
【解析】
(1)代值聯(lián)立方程組.解得即可求出,
(2)聯(lián)立方程,利用韋達定理,以及向量的知識可得從而,化簡整理即可證明,
(3)假設(shè)存在直線l:y=k(x+1)滿足題意,則△MNF的內(nèi)切圓的半徑為,根據(jù)韋達定理,弦長公式,三角形的面積公式,即可求出k的值
解:(1) 當(dāng)m=k=1時,聯(lián)立,解之得:或,
即M(0,1),N (,);
(2) 當(dāng)m=2時聯(lián)立,消去y得:,
設(shè)M(x1,y1),N (x2,y2),則,
由,,且點的橫坐標為0,
得、. 從而
=
=,
為定值3;
(3) 當(dāng)m=3時,橢圓:,假設(shè)存在直線滿足題意,則△的內(nèi)切圓的半徑為,又、為橢圓的焦點,故△MNF的周長為8,
從而,
消去,得,設(shè)、,
則.
故,即.
由(2),得,
化簡,得,解得,
故存在直線滿足題意.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)利用周末組織教職員工進行了一次秋季登山健身的活動,有Ⅳ人參加,現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為,,,,,,等七組,其頻率分布直方圖如圖所示,已知這組的參加者是6人.
(1)根據(jù)此頻率分布直方圖求該校參加秋季登山活動的教職工年齡的中位數(shù);
(2)已知和這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師,現(xiàn)從這兩個組中各選取2人擔(dān)任接待工作,設(shè)兩組的選擇互不影響,求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率;
(3)組織者從這組的參加者(其中共有4名女教師,其余全為男教師)中隨機選取3名擔(dān)任后勤保障工作,其中女教師的人數(shù)為,求的分布列和均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,橢圓離心率為,、是橢圓C的短軸端點,且到焦點的距離為,點M在橢圓C上運動,且點M不與、重合,點N滿足.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足acosB+bcosA=2ccosC.
(1)求角C的大;
(2)若△ABC的周長為3,求△ABC的內(nèi)切圓面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓過點,且離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線的斜率為,直線與橢圓交于、兩點,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次“綜藝類和體育類節(jié)目,哪一類節(jié)目受中學(xué)生歡迎”的調(diào)查中,隨機調(diào)查了男女各100名學(xué)生,其中女同學(xué)中有73人更愛看綜藝類節(jié)目,另外27人更愛看體育類節(jié)目;男同學(xué)中有42人更愛看綜藝類節(jié)目,另外58人更愛看體育類節(jié)目.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫如下列聯(lián)表:
綜藝類 | 體育類 | 總計 | |
女 | |||
男 | |||
總計 |
(2)試判斷是否有的把握認為“中學(xué)生更愛看綜藝類節(jié)目還是體育類節(jié)目與性別有關(guān)”.
參考公式:,其中.
臨界值表:
0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,當(dāng),分別在軸,軸上滑動時,點的軌跡記為.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)斜率為的直線與交于,兩點,若,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線(為參數(shù)),.以原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(I)寫出曲線與圓的極坐標方程;
(II)在極坐標系中,已知射線分別與曲線及圓相交于,當(dāng)時,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若函數(shù)僅在處取得極值,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)有三個極值點,,,求證:.
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