Question

有三個球，一球切于正方體的各面，一球切于正方體的各棱，一球過于正方體的各頂點，求這三個球的體積之比．

Answer 1

分析：設正方體的棱長為1，由題意可知切于正方體的各面球的直徑就是正方體的棱長，切于正方體的各棱的球的直徑就是正方體的面上的對角線長，過于正方體的各頂點的球的直徑就是正方體的對角線長．求出三個球體的體積，即可求出比值．

解答：解：設正方體的棱長為1，
設切于正方體的各面的球的半徑為R₁，R₁=

1

2

，則此球的體積為：

4

3

πR₁³=

π

6

；
設切于正方體的各棱的球的半徑為R₂，R₂=

2

2

，則此球的體積為：

4

3

πR₂³=

2 π

3

；
設過于正方體的各頂點的球的半徑為R₃，R₃=

3

2

，則此球的體積為：

4

3

πR₃³=

3 π

2

；
所以這三個球的體積之比為：1：2

2

：3

3

．

點評：本題考查球的體積和表面積，球的外接體問題，是基礎題．