【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且a1+a5=17.
(1)若{an}還同時滿足: ①{an}為等比數(shù)列;②a2a4=16;③對任意的正整數(shù)n,a2n<a2n+2 , 試求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)若{an}為等差數(shù)列,且S8=56. ①求該等差數(shù)列的公差d;②設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=3nan , 則當n為何值時,bn最大?請說明理由.
【答案】
(1)解:因為{an}是等比數(shù)列,則a2a4=a1a5=16,又a1+a5=17,所以 或
從而an=2n﹣1或an=(﹣2)n﹣1或an=16×( )n﹣1或an=16×(﹣ )n﹣1.
由③得,an=2n﹣1或an=16×( )n﹣1
(2)解:①由題意,得 ,解得d=﹣1
②由①知a1= ,所以an= ﹣n,則bn=3nan=3n( ﹣n),
因為bn+1﹣bn=2×3n×(10﹣n)
所以b11=b10,且當n≤10時,數(shù)列{bn}單調(diào)遞增,當n≥11時,數(shù)列{bn}單調(diào)遞減,
故當n=10或n=11時,bn最大.
【解析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a5=16,又a1+a5=17,即可求出a1 , a5的值,繼而求出公比,寫出通項公式即可(2)①{an}為等差數(shù)列,且a1+a5=17,S8=56,建立方程組,即可求得該等差數(shù)列的公差d;②確定數(shù)列{bn}的通項,判斷其單調(diào)性,即可求得bn最大值
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識點,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)經(jīng)過點(0, ),離心率為 ,左右焦點分別為F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=﹣ x+m與橢圓交于A、B兩點,與以F1F2為直徑的圓交于C、D兩點,且滿足 = ,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足f(0)=﹣1,對任意x∈R都有f(x)≥x﹣1,且f(﹣ +x)=f(﹣ ﹣x).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)g(x)=log [f(a)]x在(﹣∞,+∞)上為減函數(shù)?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】設(shè)直線系M:xcosθ+(y﹣1)sinθ=1(0≤θ≤2π),對于下列說法:
(1)M中所有直線均經(jīng)過一個定點;
(2)存在一個圓與所有直線不相交;
(3)對于任意整數(shù)n(n≥3),存在正n邊形,其所有邊均在M中的直線上;
(4)M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
其中說法正確的是(填序號).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,h(x)=2f(x)﹣ax﹣b.
(Ⅰ)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由;
(Ⅱ)若f(x)為奇函數(shù),且h(x)在[﹣1,1]有零點,求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點在原點,焦點在軸上,且拋物線上有一點到焦點的距離為5.
(1)求該拋物線的方程;
(2)已知拋物線上一點,過點作拋物線的兩條弦和,且,判斷直線是否過定點?并說明理由.
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