Question

19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，$3{a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差數(shù)列，則$\frac{{{a_{11}}+{a_{13}}}}{{{a_8}+{a_{10}}}}$=（　�。�

• A． 27
• B． -1或27
• C． 3
• D． -1或3

Answer 1

分析 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由$3{a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差數(shù)列，可得$2×\frac{1}{2}{a}_{3}$=3a₁+2a₂，化為：${a}_{1}{q}^{2}$=3a₁+2a₁q，解得q．利用$\frac{{{a_{11}}+{a_{13}}}}{{{a_8}+{a_{10}}}}$=$\frac{{q}^{3}（{a}_{8}+{a}_{10}）}{{a}_{8}+{a}_{10}}$，即可得出．

解答 解：設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵$3{a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差數(shù)列，
∴$2×\frac{1}{2}{a}_{3}$=3a₁+2a₂，化為：${a}_{1}{q}^{2}$=3a₁+2a₁q，即q²-2q-3=0，解得q=3．
則$\frac{{{a_{11}}+{a_{13}}}}{{{a_8}+{a_{10}}}}$=$\frac{{q}^{3}（{a}_{8}+{a}_{10}）}{{a}_{8}+{a}_{10}}$=3³=27．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．