設(shè)平面上A、B兩點坐標分別是(-cos
α
2
  ，sin
α
2
)   ，(cos
3α
2
  ，sin
3α
2
) .  α∈[0，
π
2
]，
（1）求|
AB
|的最大值和最小值；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=
AB
2+4a|
AB
|-3，a∈R，求f（x）的最小值．
分析：（1）由題意可得
AB
的坐標，再根據(jù)向量的模的定義求得|
AB
|2=2+2cos2α．再由α∈[0，
π
2
]，可得cos2α∈[-1，1]，由此可得|
AB
|取得最大值和最小值．
（2）由于函數(shù) f（x）=4（cosα+a）2-3-4a2，α∈[0，
π
2
]，分當(dāng)a＞0時、當(dāng)-1≤a≤0時、當(dāng)a＜-1時三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最小值．
解答：解：（1）由題意可得
AB
=（cos
3α
2
+cos
α
2
，sin
3α
2
-sin
α
2
），
∴|
AB
|2=(cos
3α
2
+coa
α
2
)2+(sin
3α
2
-sin
α
2
)2=2+2cos2α，由α∈[0，
π
2
]，可得cos2α∈[-1，1]，
∴當(dāng)cos2α=-1時，|
AB
|取得最小值為0，當(dāng)cos2α=1時，|
AB
|取得最大值為2．
（2）由于函數(shù)f（x）=|
AB
|2+4a|
AB
|-3=2+2cos2α+4a
2+2cos2α
，α∈[0，
π
2
]，
∴f（x）=4cos2α+8acosα-3=4（cosα+a）2-3-4a2．
當(dāng)a＞0時，則cosα=0時，函數(shù)f（x）取得最小值為-3；
當(dāng)-1≤a≤0時，則cosα=a時，函數(shù)f（x）取得最小值為-3-4a2；
當(dāng)a＜-1時，則cosα=1時，f（x）取得最小值為1+8a．
點評：本題主要考查求向量的模，三角函數(shù)的恒等變換、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）設(shè)
a
，
b
，是兩個非零向量，如果(
a
-3
b
)⊥(7
a
+5
b
)，且(
a
+4
b
)⊥(7
a
+2
b
)，求向量
a
與
b
的夾角大�。�
（2）用向量方法證明：設(shè)平面上A，B，C，D四點滿足條件AD⊥BC，BD⊥AC，則AB⊥CD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（1）設(shè)數(shù)學(xué)公式，是兩個非零向量，如果數(shù)學(xué)公式，且數(shù)學(xué)公式，求向量數(shù)學(xué)公式與數(shù)學(xué)公式的夾角大小；
（2）用向量方法證明：設(shè)平面上A，B，C，D四點滿足條件AD⊥BC，BD⊥AC，則AB⊥CD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇期中題 題型：解答題

（1）設(shè)，是兩個非零向量，如果，且，求向量與的夾角大��；
（2）用向量方法證明：設(shè)平面上A，B，C，D，四點滿足條件AD⊥BC，BD⊥AC，則AB⊥CD。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（1）設(shè)
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，
b
，是兩個非零向量，如果(
a
-3
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)⊥(7
a
+5
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)，且(
a
+4
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)⊥(7
a
+2
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)，求向量
a
與
b
的夾角大�。�
（2）用向量方法證明：設(shè)平面上A，B，C，D四點滿足條件AD⊥BC，BD⊥AC，則AB⊥CD．

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