Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)同時滿足如下三個條件：①定義域為；②是偶函數(shù)；③時，，其中.
（Ⅰ）求在上的解析式，并求出函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）當，時，函數(shù)，若的圖象恒在直線上方，求實數(shù)的取值范圍（其中為自然對數(shù)的底數(shù)， ）.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）的圖象恒在直線y=e上方

本試題主要是考查了函數(shù)定義域和奇偶性的判定以及奇偶性的運用和解析式的求解，以及圖像與圖像的位置關系的運用。
（1）因為函數(shù)同時滿足如下三個條件：①定義域為；②是偶函數(shù)；③時，，其中.
故可以得到在上的解析式，并求出函數(shù)的最大值；
（2）當，時，函數(shù)，若的圖象恒在直線上方，即成立即可。
解：（Ⅰ）任取， 
又f(x)是偶函數(shù)，故…………2分
由f(x)是定義域為的偶函數(shù)可知，f(x)在的最大值即可為f(x)的最大值.
當

          …………5分
綜上可知： 
…………6分
另解：
由f(x)是定義域為的偶函數(shù)可知，f(x)在的最大值即可為f(x)的最大值.
當
當
此時…
當
①當
此時 
②當


③
此時…………7分
綜上可知：
（2）
==…9分
要函數(shù)的圖象恒在直線y=e上方，
即成立，…………10分
，令=0，解得
①當
此時…………11分
②當
此時,
故時可滿足題意；…………12分
③
此時…13分
綜上可知：的圖象恒在直線y=e上方，…………14分