Question

17．過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$的右頂點(diǎn)A作斜率為l的直線l，若l與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)M，N，且|AM|=|MN|，則雙曲線C的離心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 先由雙曲線線方程可得A的坐標(biāo)和直線l的方程與雙曲線的漸近線聯(lián)立求得B和C的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)|AM|=|MN|求得b的值，進(jìn)而根據(jù)c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$求得c，最后根據(jù)離心率公式答案可得．

解答 解：由題可知A（2，0），
所以直線l的方程為y=x-2．
兩條漸近線方程為y=-$\frac{2}$x或y=$\frac{2}$x
聯(lián)立y=x-2和y=-$\frac{2}$x得M的橫坐標(biāo)為x_M=$\frac{4}{2+b}$，
同理得N的橫坐標(biāo)為x_N=$\frac{4}{2-b}$．
∵|AM|=|MN|，
∴M為AN中點(diǎn)，
有2x_M=x_A+x_N，
即有2×$\frac{4}{2+b}$=2+$\frac{4}{2-b}$．
解得b=6或0（舍去0）．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{4+36}$=2$\sqrt{10}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{10}}{2}$=$\sqrt{10}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考題雙曲線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題過程中要注意根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用．