Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并畫出函數(shù)f（x）的簡圖；
（2）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)g（x）=x+

1

x+1

（x≥2）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）為奇函數(shù)，然后通過x取幾個(gè)值，并求出對(duì)應(yīng)的f（x）值，通過描點(diǎn)、連線畫出f（x）在（0，+∞）的簡圖，再根據(jù)f（x）圖象根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱，畫出它在（-∞，0）的圖象；
（2）通過函數(shù)f（x）圖象即可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）令y=g（x），x+1=t，t≥3，原函數(shù)變成y=t+

1

t

-1，根據(jù)（2）判斷函數(shù)t+

1

t

在[3，+∞）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出該函數(shù)的最小值，從而求出t+

1

t

-1的最小值，即求出g（x）的最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x）；
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
x=

1

2

，1，2，3，4時(shí)，對(duì)應(yīng)的f（x）=

5

2

，2，

5

2

，

10

3

，

17

4

，通過描點(diǎn)連線即可畫出f（x）在（0，+∞）上的圖象，并根據(jù)f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，作出f（x）在（-∞，0）的圖象，如下圖所示：
（2）由圖象可看出f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為：（0，1]，[-1，0）；
（3）令y=g（x），x+1=t，t≥3，則：
y=t+

1

t

-1，由（2）知t+

1

t

在[3，+∞）上單調(diào)遞增，所以t=3時(shí)，t+

1

t

取最小值

10

3

；
∴t+

1

t

-1取最小值

7

3

；
∴g（x）的最小值為

7

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查奇函數(shù)的定義，畫函數(shù)簡圖的方法，根據(jù)圖象找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值．