【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)函數(shù),試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù) ,求函數(shù)的最小值.
【答案】(Ⅰ) 函數(shù)在上單增,在上單減,在上單增(Ⅱ)
【解析】試題分析:(Ⅰ) , ,討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)從而得函數(shù)單調(diào)性;
(Ⅱ)函數(shù),令,則,從而通過求和的最小值進(jìn)而可得的最小值.
試題解析:
(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>, ,
故 .
令,得或,
當(dāng)時, , 在上為單調(diào)增函數(shù),
當(dāng)時, , 在上為單調(diào)減函數(shù),
當(dāng)時, , 在上為單調(diào)增函數(shù),
故函數(shù)在上單增,在上單減,在上單增.
(Ⅱ)函數(shù),
由(Ⅰ)得函數(shù)在上單增,在上單減,在上單增,
∵時, ,而,
故函數(shù)的最小值為,
令,得 ,
當(dāng)時, , 在上為單調(diào)減函數(shù),
當(dāng)時, , 在上為單調(diào)增函數(shù),
∴函數(shù)的最小值為,
故當(dāng)時,函數(shù)的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線相交于, 兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的頂點(diǎn), 在橢圓上, 在直線上,且.
()求橢圓的離心率.
()當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)時,求的長及的面積.
()當(dāng),且斜邊的長最大時,求所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三年級50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,根據(jù)他們的成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖,已知分?jǐn)?shù)在的矩形面積為,
求:分?jǐn)?shù)在的學(xué)生人數(shù);
這50名學(xué)生成績的中位數(shù)精確到;
若分?jǐn)?shù)高于60分就能進(jìn)入復(fù)賽,從不能進(jìn)入復(fù)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名,求兩人來自不同組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,已知,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),e為橢圓的離心率.
求橢圓C的方程;
是否存在斜率為的直線l,使得當(dāng)直線l與橢圓C有兩個不同交點(diǎn)M,N時,能在直線上找到一點(diǎn)P,在橢圓C上找到一點(diǎn)Q,滿足?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面為菱形,且, 是中點(diǎn).
(Ⅰ)證明: 平面;
(Ⅱ)若, ,求平面與平面所成二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國內(nèi)某知名大學(xué)有男生14000人,女生10000人.該校體育學(xué)院想了解本校學(xué)生的運(yùn)動狀況,根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取120人,統(tǒng)計(jì)他們平均每天運(yùn)動的時間(已知該校學(xué)生平均每天運(yùn)動的時間范圍是 ),如下表所示.
男生平均每天運(yùn)動的時間分布情況:
女生平均每天運(yùn)動的時間分布情況:
(1)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)均可用該組區(qū)間的中間值代替,請根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運(yùn)動的時間(結(jié)果精確到0.1).
(2)若規(guī)定平均每天運(yùn)動的時間不少于的學(xué)生為“運(yùn)動達(dá)人”,低于的學(xué)生為“非運(yùn)動達(dá)人”.
(ⅰ)根據(jù)樣本估算該!斑\(yùn)動達(dá)人”的數(shù)量;
(ⅱ)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并通過計(jì)算判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“運(yùn)動達(dá)人”與性別有關(guān).
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體是由以等邊三角形為底面的棱柱被平面所截而得,已知平面 為的中點(diǎn), 面.
(1)求的長;
(2)求證:面面;
(3)求平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面為等腰梯形, ∥, ,垂足為, 是四棱錐的高。
(Ⅰ)證明:平面 平面;
(Ⅱ)若,60°,求四棱錐的體積。
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