【題目】已知橢圓的上頂點為點,右焦點為.延長交橢圓于點,且滿足.
(1)試求橢圓的標準方程;
(2)過點作與軸不重合的直線和橢圓交于兩點,設(shè)橢圓的左頂點為點,且直線分別與直線交于兩點,記直線的斜率分別為,則與之積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,試說明理由.
【答案】(1) (2) 與之積為定值,且該定值是
【解析】試題分析:(1),可得,將坐標代入求出點E,代入橢圓方程,結(jié)合焦點坐標可得橢圓方程;(2) 設(shè),,設(shè)出直線AB的方程,與橢圓方程聯(lián)立,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程并寫出韋達定理,根據(jù)三點共線得出M,N的坐標,求出與之積得出定值.
試題解析:
(1)橢圓的上頂點為,右焦點,點的坐標為.
∵,可得,
又,,
∴代入可得,
又,解得,,
即橢圓的標準方程為.
(2)設(shè),,,,.
由題意可設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立消去,
得,
∴
根據(jù)三點共線,可得,
∴.
同理可得,
∴的坐標分別為,,
∴
.
∴與之積為定值,且該定值是.
點睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達定理法:因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一,尤其是弦中點問題,弦長問題,可用韋達定理直接解決,但應注意不要忽視判別式的作用.
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【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足;對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)在上的值域,并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(Ⅱ)若是上的有界函數(shù),且的上界為3,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若,求函數(shù)在上的上界的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),(a>0且a≠1),若h(x)=f(x)-g(x).
(1)求函數(shù)h(x)的定義域;
(2)判斷h(x)的奇偶性,并說明理由;
(3)若f(2)=1,求使h(x)>0成立的x的集合.
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【題目】若運行如圖所示的程序框圖,輸出的的值為127,則輸入的正整數(shù)的所有可能取值的個數(shù)為( )
A. 8 B. 3 C. 2 D. 1
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【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且對任意的恒成立,且當時,.
(1)求證:是以2為周期的函數(shù)(不需要證明2是的最小正周期);
(2)對于整數(shù),當時,求函數(shù)的解析式;
(3)對于整數(shù),記在有兩個不等的實數(shù)根},求集合.
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【題目】摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.如圖,某摩天輪最高點距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m,設(shè)置有48個座艙,開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙,轉(zhuǎn)一周大約需要30min.
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙,開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm,求在轉(zhuǎn)動一周的過程中,H關(guān)于t的函數(shù)解析式;
(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度;
(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里,在運行一周的過程中,求兩人距離地面的高度差h(單位:m)關(guān)于t的函數(shù)解析式,并求高度差的最大值(精確到0.1).
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【題目】從某小區(qū)抽取50戶居民進行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間,將用電量的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如下.
(1)求頻率分布直方圖中的值并估計這50戶用戶的平均用電量;
(2)若將用電量在區(qū)間內(nèi)的用戶記為類用戶,標記為低用電家庭,用電量在區(qū)間內(nèi)的用戶記為類用戶,標記為高用電家庭,現(xiàn)對這兩類用戶進行問卷調(diào)查,讓其對供電服務進行打分,打分情況見莖葉圖:
①從類用戶中任意抽取3戶,求恰好有2戶打分超過85分的概率;
②若打分超過85分視為滿意,沒超過85分視為不滿意,請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“滿意度與用電量高低有關(guān)”?
滿意 | 不滿意 | 合計 | |
類用戶 | |||
類用戶 | |||
合計 |
附表及公式:
<>0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
, .
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【題目】已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與軸的非負半軸重合.若曲線的極坐標方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線的直角坐標方程與直線的普通方程;
(Ⅱ)設(shè)點,直線與曲線交于兩點,求的值.
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【題目】在一個盒子中有3個球,藍球、紅球、綠球各1個,從中隨機地取出一個球,觀察其顏色后放回,然后再隨機取出1個球.
(1)用適當?shù)姆柋硎驹囼灥目赡芙Y(jié)果,寫出試驗的樣本空間;
(2)用集合表示“第一次取出的是紅球"的事件;
(3)用集合表示“兩次取出的球顏色相同”的事件.
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