【題目】已知a,b,c,使等式N+都成立,
(1)猜測a,b,c的值;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
先假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a,b,c,再令n=1,n=2,n=3構(gòu)造三個(gè)方程求出a,b,c,再用用數(shù)學(xué)歸納法證明成立,證明時(shí)先證:(1)當(dāng)n=1時(shí)成立.(2)再假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),成立,即122+232+…+k(k+1)2=(3k2+11k+10),再遞推到n=k+1時(shí),成立即可.
(1):假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a,b,c,
在等式122+232+…+n(n+1)2
=(an2+bn+c)中,
令n=1,得4=(a+b+c)①
令n=2,得22=(4a+2b+c)②
令n=3,得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3,b=11,c=10,
于是,對于n=1,2,3都有
122+232+…+n(n+1)2=(3n2+11n+10)(*)成立.
(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:對于一切正整數(shù)n,(*)式都成立.
(1)當(dāng)n=1時(shí),由上述知,(*)成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),(*)成立,
即122+232+…+k(k+1)2
=(3k2+11k+10),
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
122+232+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2
=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2
=(3k2+5k+12k+24)
=[3(k+1)2+11(k+1)+10],
由此可知,當(dāng)n=k+1時(shí),(*)式也成立.
綜上所述,當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)題設(shè)的等式對于一切正整數(shù)n都成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】王老師的班上有四個(gè)體育健將甲、乙、丙、丁,他們都特別擅長短跑,在某次運(yùn)動(dòng)會(huì)上,他們四人要組成一個(gè)米接力隊(duì),王老師要安排他們四個(gè)人的出場順序,以下是他們四人的對話:
甲:我不跑第一棒和第二棒;乙:我不跑第一棒和第四棒;
丙:我也不跑第一棒和第四棒;。喝绻也慌艿诙,我就不跑第一棒;
王老師聽了他們四人的對話,安排了一種合理的出場順序,滿足了他們的所有要求, 據(jù)此我們可以斷定,在王老師安排的出場順序中,跑第三棒的人是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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【題目】下列說法正確的是 . (寫出所有正確說法的序號(hào))
①若p是q的充分不必要條件,則p是q的必要不充分條件;
②命題“x∈R,x2+1>3x”的否定是“x∈R,x2+1<3x”;
③設(shè)x,y∈R.命題“若xy=0,則x2+y2=0”的否命題是真命題;
④若
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【題目】如圖,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面是邊長為1的正方形,高AA1= ,點(diǎn)A是平面α內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn),AA1與α所成角為 ,點(diǎn)C1在平面α內(nèi)的射影為P,當(dāng)四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1按要求運(yùn)動(dòng)時(shí)(允許四棱柱上的點(diǎn)在平面α的同側(cè)或異側(cè)),點(diǎn)P所經(jīng)過的區(qū)域的面積= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都大于1,且a1=2,a ﹣an+1﹣a +1=0(n∈N*).
(1)求證: ≤an<an+1≤n+2;
(2)求證: + + +…+ <1.
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【題目】某公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查,其中女性有55名.如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖.將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”,已知“體育迷”中有10名女性.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?
(2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”,已知“超級(jí)體育迷”中有2名女性,若從“超級(jí)體育迷”中任意選取2人,求至少有1名女性觀眾的概率.
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【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都大于1,且a1=2,a ﹣an+1﹣a +1=0(n∈N*).
(1)求證: ≤an<an+1≤n+2;
(2)求證: + + +…+ <1.
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【題目】已知存在常數(shù),那么函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),再由函數(shù)的奇偶性可知在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
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(2)將前述的函數(shù)和推廣為更為一般形式的函數(shù),使和都是的特例,研究的單調(diào)性(只須歸納出結(jié)論,不必推理證明)
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