【題目】已知等差數(shù)列的前項和為,并且,,數(shù)列滿足:,,記數(shù)列的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式及前項和公式;
(2)求數(shù)列的通項公式及前項和公式;
(3)記集合,若的子集個數(shù)為16,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
試題(1)數(shù)列是等差數(shù)列,可把已知用表示出來,列出方程組,解出,從而得到通項公式和膠項和;(2)由已知得,這是數(shù)列前后項的比值,因此可用連乘法求得通項,即,從而有,它可看作是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的乘積,因此其前項和用乘公比錯位相減法求得;(3)由(1)(2)求得,不等式恒成立,即恒成立,只要求得的最小值即可,先求出前面幾項,觀察歸納猜想出單調(diào)性并給出證明(可用證明數(shù)列的單調(diào)性),從而可求得最小值,得范圍.
試題解析:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,由題意得
(2)由題意得
疊乘得
由題意得①
②
②-①得:
(3)由上面可得令
則
下面研究數(shù)列的單調(diào)性,
時,即單調(diào)遞減.
所以不等式解的個數(shù)為4,.
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【題目】斜三棱柱中,底面是邊長為的正三角形,側(cè)棱長為,側(cè)棱與底面相鄰兩邊都成角,求此三棱柱的側(cè)面積和體積.
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【題目】一次猜獎游戲中,1,2,3,4四扇門里擺放了,,,四件獎品(每扇門里僅放一件).甲同學(xué)說:1號門里是,3號門里是;乙同學(xué)說:2號門里是,3號門里是;丙同學(xué)說:4號門里是,2號門里是;丁同學(xué)說:4號門里是,3號門里是.如果他們每人都猜對了一半,那么4號門里是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖是一個半徑為1千米的扇形景點的平面示意圖,.原有觀光道路OC,且.為便于游客觀賞,景點管理部門決定新建兩條道路PQ、PA,其中P在原道路OC(不含端點O、C)上,Q在景點邊界OB上,且,同時維修原道路的OP段,因地形原因,新建PQ段、PA段的每千米費用分別是萬元、萬元,維修OP段的每千米費用是萬元.
(1)設(shè),求所需總費用,并給出的取值范圍;
(2)當(dāng)P距離O處多遠時,總費用最小.
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【題目】某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費用萬元滿足(其中,為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為元件.
(1)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù);
(2)促銷費用投入多少萬元時,該公司的利潤最大?
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【題目】已知橢圓的兩個焦點,與短軸的一個端點構(gòu)成一個等邊三角形,且直線與圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過橢圓的左頂點的兩條直線,分別交橢圓于,兩點,且,求證:直線過定點,并求出定點坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下求面積的最大值.
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【題目】2018年遼寧省正式實施高考改革.新高考模式下,學(xué)生將根據(jù)自己的興趣、愛好、學(xué)科特長和高校提供的“選考科目要求”進行選課.這樣學(xué)生既能尊重自己愛好、特長做好生涯規(guī)劃,又能發(fā)揮學(xué)科優(yōu)勢,進而在高考中獲得更好的成績和實現(xiàn)自己的理想.考改實施后,學(xué)生將在高二年級將面臨著的選課模式,其中“3”是指語、數(shù)、外三科必學(xué)內(nèi)容,“1”是指在物理和歷史中選擇一科學(xué)習(xí),“2”是指在化學(xué)、生物、地理、政治四科中任選兩科學(xué)習(xí).某校為了更好的了解學(xué)生對“1”的選課情況,學(xué)校抽取了部分學(xué)生對選課意愿進行調(diào)查,依據(jù)調(diào)查結(jié)果制作出如下兩個等高堆積條形圖:根據(jù)這兩幅圖中的信息,下列哪個統(tǒng)計結(jié)論是不正確的( )
A.樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量
B.樣本中有學(xué)物理意愿的學(xué)生數(shù)量多于有學(xué)歷史意愿的學(xué)生數(shù)量
C.樣本中的男生偏愛物理
D.樣本中的女生偏愛歷史
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,且經(jīng)過點,它的一個焦點與拋物線的焦點重合.
(1)求橢圓的方程;
(2)斜率為的直線過點,且與拋物線交于兩點,設(shè)點,的面積為,求的值;
(3)若直線過點,且與橢圓交于兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,直線的縱截距為,證明:為定值.
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