Question

在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某單位派出了有6名主力隊(duì)員和5名替補(bǔ)隊(duì)員組成的代表隊(duì)參加比賽．
（1）如果隨機(jī)抽派5名隊(duì)員上場(chǎng)比賽，將主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；
（2）若主力隊(duì)員中有2名隊(duì)員在練習(xí)比賽中受輕傷，不宜同時(shí)上場(chǎng)；替補(bǔ)隊(duì)員中有2名隊(duì)員身材相對(duì)矮小，也不宜同時(shí)上場(chǎng)；那么為了場(chǎng)上參加比賽的5名隊(duì)員中至少有3名主力隊(duì)員，教練員有多少種組隊(duì)方案？

Answer 1

分析：（1）由題意知隨機(jī)變量X的取值是0、1、2、3、4、5，當(dāng)X=0時(shí)，表示主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)為0，當(dāng)X=1時(shí)，表示主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)為1，當(dāng)X=2時(shí)，表示主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)為2，以此類推，寫出概率和分布列求出期望．
（2）上場(chǎng)隊(duì)員有3名主力，方案有：（C₆³-C₄¹）（C₅²-C₂²）=144（種）；上場(chǎng)隊(duì)員有4名主力，方案有：（C₆⁴-C₄²）C₅¹=45（種）；上場(chǎng)隊(duì)員有5名主力，方案有：（C₆⁵-C₄³）C₅⁰=C₄⁴C₂¹=2（種）．列出三種情況，相加得到結(jié)論．

解答：解：（1）由題意知隨機(jī)變量X的取值是0、1、2、3、4、5，
∵當(dāng)X=0時(shí)，表示主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)為0，以此類推，
∴P（X=0）=

C 0 6 C 5 5

C 5 11

；
P（X=1）=

C 1 6 C 4 5

C 5 11

；
P（X=2）=

C 2 6 C 3 5

C 5 11

；
P（X=3）=

C 3 6 C 2 5

C 5 11

；
P（X=4）=

C 4 6 C 1 5

C 5 11

；
P（X=5）=

C 5 6 C 0 5

C 5 11

．
∴隨機(jī)變量X的概率分布如下表：
E（X）=0×

C 0 6 C 5 5

C 5 11

+1×

C 1 6 C 4 5

C 5 11

+2×

C 2 6 C 3 5

C 5 11

+3×

C 3 6 C 2 5

C 5 11

+4×

C 4 6 C 1 5

C 5 11

+5×

C 5 6 C 0 5

C 5 11

=

630

231

≈2.73
（2）由題意知
①上場(chǎng)隊(duì)員有3名主力，方案有：（C₆³-C₄¹）（C₅²-C₂²）=144（種）
②上場(chǎng)隊(duì)員有4名主力，方案有：（C₆⁴-C₄²）C₅¹=45（種）
③上場(chǎng)隊(duì)員有5名主力，方案有：（C₆⁵-C₄³）C₅⁰=C₄⁴C₂¹=2（種）
教練員組隊(duì)方案共有144+45+2=191種．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和應(yīng)用，本題這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．