Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，且AB=AC=AA₁=1．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出A₁C⊥AC₁，從而得到AB⊥平面AA₁C₁C，由此能證明A₁C⊥平面ABC₁．
（Ⅱ）以A為原點，AC，AB，AA₁所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-AC₁-B₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵AC=AA₁，且在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中有AC⊥AA₁，
∴A₁C⊥AC₁，
∵AB⊥AC，且在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AB⊥AA₁，AA₁∩AC=A，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，
又A₁C?平面AA₁C₁C，∴A₁C⊥AB，
又AC₁∩AB=A，∴A₁C⊥平面ABC₁．
（Ⅱ）解：以A為原點，AC，AB，AA₁所在的直線分別為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（0，0，0），A₁（0，0，1），B₁（0，1，1）C₁（1，0，1），C（1，0，0），
由（Ⅰ）知A₁C⊥平面ABC₁，
∴平面ABC₁的一個法向量為

A1C

=（1，0，-1），
設平面AB₁C₁的法向量

n

=(x，y，z)，
∵

AC1

=(1，0，1)，

AB1

=(0，1，1)，
∴

n • AC1 =x+z=0 n • AB1 =y+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，-1），
∴cos＜

A1C

，

n

＞=

1+0+1

2 • 3

=

6

3

．
∴二面角B-AC₁-B₁的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．