Question

10．F是拋物線C：y²=4x的焦點，過F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l₁，l₂，l₁交拋物線C于點A，B，l₂交拋物線C于點G，H，則$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$的最小值是（　　）

• A． 8
• B． 8$\sqrt{2}$
• C． 16
• D． 16$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，利用基本不等式，即可求$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$的最小值．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點F（1，0），設(shè)l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得：x²-（4k²+2）x+1=0，
∴x₃+x₄=4k²+2，x₃x₄=1，…（9分）
∴$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$=（$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{FG}$）（$\overrightarrow{HF}$+$\overrightarrow{FB}$）=|$\overrightarrow{AF}$|•|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FG}$|•|$\overrightarrow{HF}$|，
=|x₁+1|•|x₂+1|+|x₃+1|•|x₄+1|
=（x₁x₂+x₁+x₂+1）+（x₃x₄+x₃+x₄+1）
=8+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²≥8+2$\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}×4{k}^{2}}$=16．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4}{{k}^{2}}$=4k²，即k=±1時，$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$有最小值16，…（12分）
故選C．

點評 本題考查橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．