分析 (1)由題意可得c=1,將P代入橢圓方程,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)由題意:C1:$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$,設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),求出PM,PN方程,求得直線MN方程,求出MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n,結(jié)合橢圓方程,即可得到定值.
解答 解:(1)由題意得:c=1,所以a2=b2+1,
又因?yàn)辄c(diǎn)$P(1,\frac{3}{2})$在橢圓C上,所以$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$,
可解得a2=4,b2=3,
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.
(2)證明:由題意:C1:$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$,
設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),
因?yàn)镸,N不在坐標(biāo)軸上,所以${k_{PM}}=-\frac{1}{{{k_{OM}}}}=-\frac{x_2}{y_2}$,
直線PM的方程為$y-{y_2}=-\frac{x_2}{y_2}(x-{x_2})$,
化簡(jiǎn)得:${x_2}x+{y_2}y=\frac{4}{3}$--------------④
同理可得直線PN的方程為${x_3}x+{y_3}y=\frac{4}{3}$---------------⑤
把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入④、⑤得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}{x_1}+{y_2}{y_1}=\frac{4}{3}\\{x_3}{x_1}+{y_3}{y_1}=\frac{4}{3}\end{array}\right.$,
所以直線MN的方程為${x_1}x+{y_1}y=\frac{4}{3}$,
令y=0,得$m=\frac{4}{{3{x_1}}}$,令x=0得$n=\frac{4}{{3{y_1}}}$,
所以${x_1}=\frac{4}{3m}$,${y_1}=\frac{4}{3n}$,又點(diǎn)P在橢圓C1上,
所以${(\frac{4}{3m})^2}+3{(\frac{4}{3n})^2}=4$,
即$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}=\frac{3}{4}$為定值.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程,考查定值的證明,注意運(yùn)用圓上一點(diǎn)的切線方程,考查直線方程運(yùn)用,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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已知是定義在上的奇函數(shù)且,當(dāng),且時(shí),有,若對(duì)所有、恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | ① | B. | ①② | C. | ①③ | D. | ①②③ |
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A. | 為定值-3 | B. | 為定值3 | C. | 為定值-1 | D. | 不是定值 |
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