Question

已知函數(shù)f(x)=

x3

3

+x2+3ax+1，動直線l的斜率k=2．
（1）若存在直線l與f（x）的圖象相切，求a的取值范圍；
（2）若恰好有一條直線l與f（x）的圖象相切，求直線l的方程；
（3）若動直線l與f（x）的圖象相切點A（x₁，y₁），且x₁∈[-2，2]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求得f'（x）=x²+2x+3a．根據(jù)已知條件可得f′（x）=2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出a的取值范圍；
（2）若恰好有一條直線l與f（x）的圖象相切，設(shè)切點M（x，y），則x²+2x+3a=2有惟一解，結(jié)合根的判別式求出x及切點，最后寫出直線l的方程；
（3）若動直線l與f（x）的圖象相切點A（x₁，y₁），則x₁²+2x₁+3a=2且x₁∈[-2，2]，3a=2-x₁²-2x₁∈[-6，3]，求出函數(shù)2-x₁²-2x₁在區(qū)間[-2，2]上的值域，實數(shù)3a也應(yīng)在這個值域中，因此可以得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：由題意得f'（x）=x²+2x+3a．
（1）若存在直線l與f（x）的圖象相切，設(shè)l的斜率為k，
則x²+2x+3a=2，3a=2-x²-2x≤3⇒a≤1，
∴a的取值范圍（-∞，1]；
（2）若恰好有一條直線l與f（x）的圖象相切，
設(shè)切點M（x，y），則x²+2x+3a=2有惟一解，⇒△=0⇒a=1，
且x=-1，切點M（-1，-

4

3

），
∴直線l的方程為：y+

4

3

=2（x+1），即：2x+y+

2

3

=0；
（3）若動直線l與f（x）的圖象相切點A（x₁，y₁），
則x₁²+2x₁+3a=2且x₁∈[-2，2]，
3a=2-x₁²-2x₁∈[-6，3]，⇒a∈[-2，1]
故a的取值范圍[-2，1]．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．