Question

14．橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜1）的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，若△FAB的外接圓圓心P（m，n）在直線y=-x的左下方，則該橢圓離心率的取值范圍為（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 方法一：分別求出線段FA與AB的垂直平分線方程，聯(lián)立解出圓心坐標(biāo)P，利用m+n＜0，與離心率計(jì)算公式即可得出；
方法二：設(shè)△FAB的外接圓方程，將三點(diǎn)代入，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由m+n＜0，求得b和c的關(guān)系，即可求得橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：方法一：如圖所示，B是右頂點(diǎn)（1，0），上頂點(diǎn)A（0，b），左焦點(diǎn)F（$\sqrt{1-^{2}}$，0），
線段FB的垂直平分線為：x=$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$．
線段AB的中點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}$）．
∵k_AB=-b．
∴線段AB的垂直平分線的斜率k=$\frac{1}$．
∴線段AB的垂直平分線方程為：y-$\frac{2}$=$\frac{1}$（x-$\frac{1}{2}$），
把x=$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$=m，代入上述方程可得：y=$\frac{^{2}-\sqrt{1-^{2}}}{2b}$=n．
由P（m，n）在直線y=-x的左下方，
則m+n＜0，
∴$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$+$\frac{^{2}-\sqrt{1-^{2}}}{2b}$＜0．
化為：b＜$\sqrt{1-^{2}}$，又0＜b＜1，
解得：0＜b＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=c=$\sqrt{1-^{2}}$∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
∴橢圓離心率的取值范圍（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故選A．

方法二：設(shè)A（0，b），B（a，0），F(xiàn)（-c，0），設(shè)△FAB的外接圓的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
將A，B，F(xiàn)代入外接圓方程，解得：m=$\frac{-c+a}{2}$，n=$\frac{^{2}-ac}{2b}$，
由P（m，n）在直線y=-x的左下方，
則m+n＜0，
∴$\frac{-c+a}{2}$+$\frac{^{2}-ac}{2b}$＜0，整理得：1-c+b-$\frac{c}$＜0，
∴b-c+$\frac{b-c}$＜0，
∴b-c＜0，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=c，
∴2e²＞1，由0＜e＜1，
解得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1，
∴橢圓離心率的取值范圍（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，三角形形外接圓求得求法，考查計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．