【題目】已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，在軸，軸上的射影分別為點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)，，利用所給條件建立關(guān)系式，利用點(diǎn)在上可得的方程，即為所求；

（2）設(shè)頂點(diǎn)為，設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立方程組，得到根與系數(shù)的關(guān)系，以及，利用向量的數(shù)量積為0得到恒等式，求得的坐標(biāo)即可．

（1）設(shè)，，則，

由，可得，代入，得，

故曲線的方程為；

（2）假設(shè)存在滿足條件的定點(diǎn)，

由對(duì)稱性可知該定點(diǎn)必在軸上，設(shè)定點(diǎn)為，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立得，

設(shè)，，

則，，

所以，

，

因?yàn)?/span>，，

所以，

對(duì)任意的恒成立，

所以，解得，即定點(diǎn)為，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓也過點(diǎn)，

故以為直徑的圓過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線過焦點(diǎn)的弦，已知以為直徑的圓與相切于點(diǎn).

（1）求的值及圓的方程；

（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，證明：曲線沒有經(jīng)過點(diǎn)的切線；

（Ⅱ）若函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）直線與軸交點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的樣本平均數(shù)和樣本方差 （同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差.

（i）利用該正態(tài)分布，求；

（ⅱ）已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元，每件合格品（質(zhì)量指標(biāo)值）的定價(jià)為16元；若為次品（質(zhì)量指標(biāo)值），除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶48元.若該公司賣出10件這種產(chǎn)品，記表示這件產(chǎn)品的利潤(rùn)，求.

附：，若，則.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若，，，求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某種規(guī)格的矩形瓷磚根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，各廠生產(chǎn)的每片瓷磚質(zhì)量都服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量在之外的瓷磚作為廢品直接回爐處理，剩下的稱為正品．

（Ⅰ）從甲陶瓷廠生產(chǎn)的該規(guī)格瓷磚中抽取10片進(jìn)行檢查，求至少有1片是廢品的概率；

（Ⅱ）若規(guī)定該規(guī)格的每片正品瓷磚的“尺寸誤差”計(jì)算方式為：設(shè)矩形瓷磚的長(zhǎng)與寬分別為、，則“尺寸誤差”為，按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，其中“優(yōu)等”、“一級(jí)”、“合格”瓷磚的“尺寸誤差”范圍分別是，、，、，（正品瓷磚中沒有“尺寸誤差”大于的瓷磚），每片價(jià)格分別為7.5元、6.5元、5.0元．現(xiàn)分別從甲、乙兩廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品瓷磚中隨機(jī)抽取100片瓷磚，相應(yīng)的“尺寸誤差”組成的樣本數(shù)據(jù)如下：

尺寸誤差

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

頻數(shù)

10

30

30

5

10

5

10

（甲廠瓷磚的“尺寸誤差”頻數(shù)表）用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率．

（�。┯浖讖S該種規(guī)格的2片正品瓷磚賣出的錢數(shù)為（元，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

（ⅱ）由如圖可知，乙廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品瓷磚只有“優(yōu)等”、“一級(jí)”兩種，求5片該規(guī)格的正品瓷磚賣出的錢數(shù)不少于36元的概率．

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則；，，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的極小值為0，求的值；

（2）且，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：(a＞b＞0)，左、右焦點(diǎn)分別為F1(﹣1，0)，F2(1，0)，橢圓離心率為，過點(diǎn)P(4，0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若B是AP的中點(diǎn)，求直線l的方程；

（3）若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)．

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