Question

我們知道：對(duì)于任意n∈N^*有（1+2+3+…+n）²=1³+2³+…+n³成立，嘗試將此真命題進(jìn)行推廣：若數(shù)列{a_n}對(duì)于任意n∈N^*有（a₁+a₂+a₃+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³則稱數(shù)列{a_n}具有”D性質(zhì)”
（1）若由三項(xiàng)非零數(shù)組成的數(shù)列a₁，a₂，a₃具有”D性質(zhì)”，求出所有滿足條件的數(shù)列{a_n}；
（2）若數(shù)列{b_n}b₁=1，且S_n=

(n+1)bn

2

（n∈N^*），則該數(shù)列具有”D性質(zhì)”么？說明理由（S_n為數(shù)列前n項(xiàng)和）；
（3）若數(shù)列{c_n}c₁=1，c₂=2滿足c_n+1²-c_n+1=2S_n，（n∈N^*）判斷并證明該數(shù)列是否具有”D性質(zhì)”．（S_n為數(shù)列前n項(xiàng)和）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）求出n=1，2，3對(duì)應(yīng)的a₁，a₂，a₃的值即可；
（2）將n換成n-1，相減，運(yùn)用新定義，即可得證；
（3）{c_n}具有”D性質(zhì)”，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)

a

2 1

=

a

3 1

⇒a1=1；
當(dāng)n=2時(shí)(

a

1

+

a

2

)2=

a

3 1

+

a

3 2

⇒a2=-1或2，
當(dāng)n=3時(shí)(

a

1

+

a

2

+a3)2=

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

⇒

a2=-1 a3=1

a2=2 a3=-2或

a3=3

；
∴所有滿足條件的數(shù)列{a_n}：a₁=1，a₂=-1，a₃=1
或a₁=1，a₂=2，a₃=-2或a₁=1，a₂=2，a₃=3；
（2）S_n=

(n+1)bn

2

，S_n-1=

(n)bn-1

2

（n∈N^*，n＞1）⇒（n-1）b_n=nb_n-1
則

bn

n

-

bn-1

n-1

=0，即{

bn

n

}為等差數(shù)列，且b_n=n，則該數(shù)列具有”D性質(zhì)”；
（3）{c_n}具有”D性質(zhì)”．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
1）當(dāng)n=1時(shí)c12=

c

3 1

，”D性質(zhì)成立”；
2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)有(c1+…+ck)2=c13+c23+…+ck3成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)有(c1+…+ck+1)2=(Sk+ck+1)2=

S

2 k

+2ck+1Sk+

c

2 k+1

=c13+c23+…+ck3+（ck+12-ck+1）c_k+1+

c

2 k+1

=c13+c23+…+ck3+

c

3 k+1

∴{c_n}具有”D性質(zhì)”．

點(diǎn)評(píng)：本題新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．