【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,橢圓的上焦點為,橢圓的離心率為,且過點.

(1)求橢圓的方程.

(2)設(shè)過橢圓的上頂點的直線與橢圓交于點不在軸上),垂直于的直線與交于點,與軸交于點,若,且,求直線的方程.

【答案】(1);(2)直線的方程為.

【解析】試題分析:1根據(jù)橢圓的離心率為,且過點結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、 、的方程組,求出 、 ,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2設(shè)直線的方程為,求得點坐標(biāo),求得點坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算列方程求得,即可求得直線的方程.

試題解析:(1)因為橢圓的離心率為,所以

即可得,所以橢圓的方程為,

把點代入中,

解得

所以橢圓方程為

(2)設(shè)直線的斜率為,

則直線的方程為

設(shè)由(1)知,設(shè)

則有

所以 所以

因為,所以在線段的中垂線上.

所以,又

所以,即,

設(shè),又直線垂直

,即

所以直線的方程為.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式,屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟;①作判斷:根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上,還是在軸上,還是兩個坐標(biāo)軸都有可能;②設(shè)方程:根據(jù)上述判斷設(shè)方程 ;③找關(guān)系:根據(jù)已知條件,建立關(guān)于的方程組;④得方程:解方程組,將解代入所設(shè)方程,即為所求.

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(Ⅰ)若m=2n,則從這60名抗戰(zhàn)老兵中按照參加紀(jì)念活動的環(huán)節(jié)數(shù)分層抽取6人進行座談,求從參加紀(jì)念活動環(huán)節(jié)數(shù)為1的抗戰(zhàn)老兵中抽取的人數(shù);

(Ⅱ)某醫(yī)療部門決定從(Ⅰ)中抽取的6名抗戰(zhàn)老兵中隨機抽取2名進行體檢,求這2名抗戰(zhàn)老兵中至少有1人參加紀(jì)念活動的環(huán)節(jié)數(shù)為3的概率.

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Ⅱ)若從第,組中用分成抽樣的方法抽取人參與交通安全問卷調(diào)查,應(yīng)從這三組中各抽取幾人?

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