Question

水土流失是我國(guó)西部大開(kāi)發(fā)中最突出的問(wèn)題，全國(guó)9100萬(wàn)畝坡度為25°以上的坡耕地需退耕還林，其中西部占70%，2002年國(guó)家確定在西部地區(qū)退耕還林面積為515萬(wàn)畝，以后每年退耕土地面積遞增12%.
(1)試問(wèn)，從2002年起到哪一年西部地區(qū)基本上解決退耕還林問(wèn)題？
(2)為支持退耕還林工作，國(guó)家財(cái)政補(bǔ)助農(nóng)民每畝300斤糧食，每斤糧食按0.7元計(jì)算，并且每畝退耕地每年補(bǔ)助20元，試問(wèn)到西部地區(qū)基本解決退耕還林問(wèn)題時(shí)，國(guó)家財(cái)政共需支付約多少億元？

Answer 1

（1）2009年（2）570億元

(1)設(shè)2002年起經(jīng)x年西部地區(qū)基本上解決退耕還林問(wèn)題．依題意，得
515＋515×(1＋12%)＋515×(1＋12%)²＋…＋515×(1＋12%)^x－1＝9100×70%，即515×[1＋1.12＋1.12²＋…＋1.12^x－1]＝6370，，
整理得1.12^x≈2.4843?x≈log_1.122.4843＝≈8.03.
又x∈N，故從2002年起到2009年年底西部地區(qū)基本解決退耕還林問(wèn)題．
(2)設(shè)到西部地區(qū)基本解決退耕還林問(wèn)題時(shí)國(guó)家共需支付y億元．
首批退耕地國(guó)家應(yīng)支付：515×10⁴×(300×0.7＋20)×8，
第二批退耕地國(guó)家應(yīng)支付：515×10⁴×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×7，
第三批退耕地國(guó)家應(yīng)支付：515×10⁴×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×6，
…
最后一批退耕地國(guó)家應(yīng)支付：515×10⁴×(1＋20%)⁷×(300×0.7＋20)×1.
y＝，
令S＝8＋7×1.12＋6×1.12²＋…＋1×1.12⁷，①
1．12S＝8×1.12＋7×1.12²＋6×1.12³＋…＋1×1.12⁸，②
②－①，得0.12S＝－8×(1.12＋1.12²＋1.12³＋…＋1.12⁷)＋1×1.12⁸，
即0.12S＝－8＋＝－8＋≈－8＋，
解得S≈48.1，故y≈(515×10⁴×230×48.1)÷10⁸≈569.7億元．
故到西部地區(qū)基本解決退耕還林問(wèn)題國(guó)家共需支付約570億元