Question

如圖：長方形所在平面與正所在平面互相垂直，分別為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）試問：在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，試指出點(diǎn)

的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ）證明過程詳見試題解析；（Ⅱ）存在點(diǎn)，且時，使得平面平面.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連結(jié)交于,連結(jié)，那么在中，有是的一條中位線.從而.又,所以平面；（Ⅱ）由題意易得平面,要探索是否存在點(diǎn)，使得平面平面，就是要考慮是否存在點(diǎn)，使得成立.

試題解析：（Ⅰ）證明：連結(jié)交于,連結(jié).因為是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).所以是的一條中位線，因此，又,所以平面.

（Ⅱ）存在點(diǎn)，且時，使得平面平面.證明如下：

因為是正三角形，是的中點(diǎn)，所以.

又因為.所以.由,所以平面.

又因為長方形中，要使得，則由與相似得到點(diǎn)是的中點(diǎn).

所以,又因為,所以平面平面.

考點(diǎn)：（Ⅰ）線面平行；（Ⅱ）面面垂直的應(yīng)用.