Question

7．如果定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)于任意x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱(chēng)f（x）為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①y=-x³+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=e^x+1；④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|，x≠0\\ 0，x=0.\end{array}\right.$
其中“H函數(shù)”的個(gè)數(shù)是②③．

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價(jià)為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿(mǎn)足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：∵對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價(jià)為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
①y=-x³+x+1；y'=-3x²+1，則函數(shù)在定義域上不單調(diào)．
②y=3x-2（sinx-cosx）；y’=3-2（cosx+sinx）=3-2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿(mǎn)足條件．
③y=e^x+1為增函數(shù)，滿(mǎn)足條件．
；④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|，x≠0\\ 0，x=0.\end{array}\right.$
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿(mǎn)足條件．
綜上滿(mǎn)足“H函數(shù)”的函數(shù)為②③，
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．