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已知a＞0，≠1，f（logax）=數學公式（x-數學公式）．
（1）求函數f（x）的表達式，并寫出函數f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的單調性，并給出證明；
（3）若不等式f（x2）+f（kx+1）≤0對實數x∈（1，2）恒成立，求實數k的取值范圍．

解：（1）令logax=t則x=at
所以f（t）=（at-a-t）
f（x）=（ax-a-x），定義域為R

（2）f′（x）=lna（ax+a-x）
當a＞1時，＞0，lna＞0，
f′（x）＞0，f（x）在R上單增
當0＜a＜1時，＜0，lna＜0f′（x）＞0，f（x）在R上單增
總之f（x）在R單增

（3）∵f（x）=
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x2）+f（kx+1）≤0
即為f（x2）≤f（-kx-1）
∵f（x）單增
∴不等式f（x2）+f（kx+1）≤0對實數x∈（1，2）恒成立
即為x2≤-kx-1對實數x∈（1，2）恒成立
即-k≥x+對實數x∈（1，2）恒成立
∵x+
∴-k≥
∴k≤-
分析：（1）通過令logax=t求出x，將t與x代入求出f（x）．
（2）求出f（x）的函數，通過對a分類討論判斷出導函數的符號，據導函數的符號與函數單調性的關系，判斷出函數的單調性．
（3）求出f（-x），判斷出函數的奇偶性，將不等式變形，利用奇偶性及單調性將符號f脫去，分離出k，求函數的范圍，求出k的范圍．
點評：本題考查知f（ax+b）求f（x）常用換元法、考查利用導數判斷函數的單調性、考查利用函數的奇偶性，單調性解不等式．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，≠1，f（logax）=
a
a2-1
（x-
1
x
）．
（1）求函數f（x）的表達式，并寫出函數f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的單調性，并給出證明；
（3）若不等式f（x2）+f（kx+1）≤0對實數x∈（1，2）恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，設函數f(x)=
2009x+1+20072009x+1
+sinx(x∈[-a，a])的最大值為M，最小值為N，那么M+N=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•金華模擬）已知函數f（x）=lnx+ax2+x．
（1）若f（x）在（0，+∞）是增函數，求a的取值范圍；
（2）已知a＜0，對于函數f（x）圖象上任意不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），其中x2＞x1，直線AB的斜率為k，記N（u，0），A1（x1，y1），B1（x2，y2），若
A1B1
=λ
A1N
(1≤λ≤2)，求證：f′（u）＜k．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知a＞0，≠1，f（logax）=
a
a2-1
（x-
1
x
）．
（1）求函數f（x）的表達式，并寫出函數f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的單調性，并給出證明；
（3）若不等式f（x2）+f（kx+1）≤0對實數x∈（1，2）恒成立，求實數k的取值范圍．

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