Question

【題目】(2015·湖北）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)， ， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大��；
（2）計(jì)算 ， ， ， 由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明；
（3）令 ， 數(shù)列 ， 的前項(xiàng)和分別記為,, 證明：.

Answer 1

【答案】
（1）

的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

.

（2）

,

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②。

（1）當(dāng)時(shí)，左邊=右邊=2，②成立。

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，②成立，即.當(dāng)時(shí)，,有歸納假設(shè)可得.所以當(dāng)時(shí)，②也成立。根據(jù)（1）（2），可知②對(duì)一切正整數(shù)都成立。

（3）

【解析】1.的定義域?yàn)?/span> ， .當(dāng) ， 即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng) ， 即時(shí)，單調(diào)遞減。故的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，,即.令,得,即.①
2.;;.由此推測(cè)：,②
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②。
（1）當(dāng)時(shí)，左邊=右邊=2，②成立。
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，②成立，即.當(dāng)時(shí)，,有歸納假設(shè)可得.所以當(dāng)時(shí)，②也成立。根據(jù)（1）（2），可知②對(duì)一切正整數(shù)都成立。
3.
由的定義，② ， 算術(shù)-集合平均不等式，的定義及①得
.即.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了基本不等式和數(shù)列的定義和表示的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）；變形公式：；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．記作an，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，……，序號(hào)為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作an才能正確解答此題．