Question

已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ln（1+x）-

2ax

x+2

．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，求f（x₁）+f（x₂），并注明a的取值范圍；
（3）若f′（x）是f（x）的導函數(shù)，f′（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=

1

1+x

-

4a

(x+2)2

=

1

(x+1)(x+2)2

（x²+（4-4a）x+4-4a），令g（x）=x²+（4-4a）x+4-4a，討論g（x）的正負推導f′（x）的正負，從而推導f（x）的單調性；
（2）結合（1）可得f（x₁）+f（x₂）=f（2a-2-2

a(a-1)

）+f（2a-2+2

a(a-1)

），代入化簡即可．
（3）由（1）可直接寫出答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln（1+x）-

2ax

x+2

，
∴f′（x）=

1

1+x

-

4a

(x+2)2

=

1

(x+1)(x+2)2

（x²+（4-4a）x+4-4a）；
①令g（x）=x²+（4-4a）x+4-4a，
當△=（4-4a）（4-4a）-4（4-4a）
=（4-4a）（4-4a-4）
=-16a（1-a）≤0，
即0＜a≤1時，g（x）≥0；
故f′（x）≥0，
故f（x）在定義域（-1，+∞）上是增函數(shù)；
②當a＞1時，4-4a＜0，故x²+（4-4a）x+4-4a=0有兩個根，
且一正一負，
又∵g（-1）=1＞0，
∴x²+（4-4a）x+4-4a=0的兩個根都大于-1；
x²+（4-4a）x+4-4a=0的兩個根為
x₁=2a-2-2

a(a-1)

，x₂=2a-2+2

a(a-1)

；
故當x∈（-1，2a-2-2

a(a-1)

），（2a-2+2

a(a-1)

，+∞）時，
f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當x∈（2a-2-2

a(a-1)

，2a-2+2

a(a-1)

）時，f′（x）＜0，
f（x）是減函數(shù)；
（2）由（1）知，當a＞1時，（x）有兩個極值點x₁，x₂，
f（x₁）+f（x₂）=f（2a-2-2

a(a-1)

）+f（2a-2+2

a(a-1)

）
=ln（1+2a-2-2

a(a-1)

）+ln（1+2a-2+2

a(a-1)

）
-4a+

4a

2a-2 a(a-1)

+

4a

2a+2 a(a-1)

=0-4a+4a=0，
故f（x₁）+f（x₂）=0，a＞1；
（3）由（1）知，當0＜a＜1時，f′（x）＞0．
故a的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．