Question

已知函數(shù) ．

（Ⅰ）若曲線y=f(x)在(1，f(1))處的切線與直線x+y+1=0平行，求a的值；

（Ⅱ）若a>0，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，a ²-3)上存在極值，求a的取值范圍；

（Ⅲ）若a>2，求證：函數(shù)y=f(x)在(0，2)上恰有一個(gè)零點(diǎn)．

 

Answer 1

【答案】

（1）                 （2）

（3）先結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析證明函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)單調(diào)遞減．那么得到結(jié)論。

【解析】

試題分析：．解：（Ⅰ），     1分

，                     2分

因?yàn)榍�線y=f(x)在(1，f(1))處的切線與直線x+y+1=0平行

所以，                  3分

所以．                            4分

（Ⅱ）令，      5分

即，所以 或．                       6分

因?yàn)閍>0，所以不在區(qū)間(a，a²-3)內(nèi)，

要使函數(shù)在區(qū)間(a，a ²-3)上存在極值，只需．             7分

所以．                                              9分

（Ⅲ）證明：令，所以 或．

因?yàn)閍>2，所以2a>4，                                              10分

所以在(0，2)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)單調(diào)遞減．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612140583742871/SYS201307161214556535819519_DA.files/image012.png">，，                    11分

所以f(x)在(0，2)上恰有一個(gè)零點(diǎn)．                                12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。