Question

【題目】（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)，其中．

( I )若函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在的圖象上，求m的值；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，設(shè)，討論的單調(diào)性；

(Ⅲ)在(I)的條件下，設(shè)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，

使△OPQ(O為原點(diǎn))是以O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且該三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】( I )；(Ⅱ)當(dāng)m≥0時(shí)，在(0，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)m＜0時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).(Ⅲ)存在，.

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）令，則，即函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)

則

（Ⅱ），定義域?yàn)?/span>，

=

=

，則

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，由得

由得，

此時(shí)在上為增函數(shù)，

在為減函數(shù)，

綜上當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，

時(shí)，在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

（Ⅲ）由條件（Ⅰ）知

假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)、滿足題意，則、兩點(diǎn)只能在軸兩側(cè)

設(shè)，則

是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

①

（1）當(dāng)時(shí)，

此時(shí)方程①為，化簡(jiǎn)得.

此方程無(wú)解，滿足條件的、兩點(diǎn)不存在.

（2）當(dāng)時(shí)，，方程①為

即

設(shè)，則

顯然當(dāng)時(shí)即在上為增函數(shù)，

的值域?yàn)?/span>，即，

綜上所述，如果存在滿意條件的、，則的取值范圍是.