【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x3+ax2+1,(a∈R).
(1)若f(x)圖象上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處存在垂直于y軸的切線,求a的值;
(2)若f(x)在區(qū)間(﹣1,2)內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn),求a取值范圍;
(3)當(dāng)a=1時,是否存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)g(x)=x4﹣5x3+(2﹣m)x2+1的圖象于函數(shù)f(x)的圖象恰有三個不同的交點(diǎn),若存在,試求出實(shí)數(shù)m的值;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:依題意,f′(1)=0
∵f′(x)=﹣3x2+2ax
﹣3(1)2+2a1=0,
∴a=
(2)解:若f(x)在區(qū)間(﹣1,2)內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn),
則方程f′(x)=﹣3x2+2ax=0在區(qū)間(﹣1,2)內(nèi)有兩個不同的實(shí)根,
∴△>0,f′(﹣1)<0,f′(2)<0,﹣1< <2,
解得:﹣ <a<3且a≠0
但a=0時,f(x)=﹣x3+1無極值點(diǎn),
∴a的取值范圍為(﹣ ,0)∪(0,3)
(3)解:a=1時,f(x)=﹣x3+x2+1,
要使函數(shù)f(x)與g(x)=x4﹣5x3+(2﹣m)x2+1的圖象恰有三個交點(diǎn),
等價于方程﹣x3+x2+1=x4﹣5x3+(2﹣m)x2+1,
即方程x2(x2﹣4x+1﹣m)=0恰有三個不同的實(shí)根.
∵x=0是一個根,
∴應(yīng)使方程x2﹣4x+1﹣m=0有兩個非零的不等實(shí)根,
由△=16﹣4(1﹣m)>0,1﹣m≠0,解得m>﹣3,m≠1,
∴存在m∈(﹣3,1)∪(1,+∞),
使用函數(shù)f(x)與g(x)=x4﹣5x3+(2﹣m)x2+1的圖象恰有三個交點(diǎn)
【解析】(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再由f′(1)=0求解a.(2)將“f(x)在區(qū)間(﹣1,2)內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“方程f′(x)=0在區(qū)間(﹣1,2)內(nèi)有兩個不同的實(shí)根”,用△>0求解.(3)a=1,“要使函數(shù)f(x)與g(x)=x4﹣5x3+(2﹣m)x2+1的圖象恰有三個交點(diǎn)”即為“方程x2(x2﹣4x+1m)=0恰有三個不同的實(shí)根”.因?yàn)閤=0是一個根,所以方程x2﹣4x+1﹣m=0應(yīng)有兩個非零的不等實(shí)根,再用判別式求解.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(不等式選講)
已知函數(shù).
(1)若,解不等式;
(2)若不等式在R上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列說法:
①集合A={x∈Z|x=2k﹣1,k∈Z}與集合B={x∈z|x=2k+3,k∈Z}是相等集合;
②若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇0,4];
③函數(shù)y= 的單調(diào)減區(qū)間是(﹣∞,0)∪(0,+∞);
④不存在實(shí)數(shù)m,使f(x)=x2+mx+1為奇函數(shù);
⑤若f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2,則 + +…+ =2016.
其中正確說法的序號是( )
A.①②③
B.②③④
C.①③⑤
D.①④⑤
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖為某市2017年2月28天的日空氣質(zhì)量指數(shù)折線圖.
由中國空氣質(zhì)量在線監(jiān)測分析平臺提供的空氣質(zhì)量指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)如下:
(1)請根據(jù)所給的折線圖補(bǔ)全下方的頻率分布直方圖(并用鉛筆涂黑矩形區(qū)域),并估算該市2月份空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)的平均數(shù)(保留小數(shù)點(diǎn)后一位);
(2)研究人員發(fā)現(xiàn),空氣質(zhì)量指數(shù)測評中與燃燒排放的兩個項(xiàng)目存在線性相關(guān)關(guān)系,以為單位,下表給出與的相關(guān)數(shù)據(jù):
求關(guān)于的回歸方程,并估計當(dāng)排放量是時, 的值.
(用最小二乘法求回歸方程的系數(shù)是, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x﹣2),當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)=3x , 則f( )= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn)到軸的距離比小.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若,求的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若對于任意x∈R,都有f(x﹣2)≤f(x),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[﹣ , ]
B.[﹣ , ]
C.[﹣ , ]
D.[﹣ , ]
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